FIP01bbtazzG3 - Le rette perpendicolari e parallele

Dal punto medio $M$ di un segmento $PQ$ traccia una retta $r$, distinta da $PQ$. Fissa su $r$, da parti opposte rispetto a $M$, due punti $S$ e $T$ tali che $MS\cong MT$. Dimostra che la retta $PT$ è parallela alla retta $QS$.

Rappresentiamo il problema in figura.

Consideriamo i triangoli $PMS$ e $TMQ$. Essi hanno

• $SM\cong MT$ per ipotesi;
• $PM\cong MQ$ per ipotesi;
• $S\hat{M}P\cong$________ perché angoli opposti al vertice.

Quindi $PMS\cong TMQ$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.

In particolare, $P\hat{S}M\cong$________ poiché elementi corrispondenti in triangoli congruenti e inoltre sono angoli alterni interni.

Per il criterio di parallelismo le rette $PT$ e $SQ$ sono parallele.

Trova la misura dell'ampiezza dell'angolo indicato in rosso sapendo che $a\parallel b$.

Prolunghiamo i segmenti $CB$ e $AB$ rispettivamente fino alle rette $a$ e $b$.

Osserviamo che:

• l'angolo $C\hat{B}E$ è un angolo piatto;
• l'angolo $A\hat{E}B\cong$________ perché è alterno interno dell'angolo ________.

Per il teorema dell'angolo esterno

$A\hat{B}E\cong {180}^{\circ }-{38}^{\circ }-{65}^{\circ }\cong {77}^{\circ }.$.

Quindi l'ampiezza dell'angolo $A\hat{B}C$ è

$A\hat{B}C\cong {180}^{\circ }+$________$={257}^{\circ }$.

Trova le misure delle ampiezze degli angoli indicati in rosso sapendo che $a\parallel b$.

• Osserviamo che ${180}^{\circ }-\alpha =$________ perché ${180}^{\circ }-\alpha$ e ${32}^{\circ }$ sono angoli corrispondenti.
  Quindi $\alpha =$________$={148}^{\circ }$.
  
• L'angolo di ${84}^{\circ }$ è l'opposto al vertice di $\gamma$, quindi $\gamma =$________.
  Allora $\beta =$________$={64}^{\circ }$.