FIP01BBbluG3 - Rette perpendicolari e parallele #466914

Considera due rette

r

e

s

tagliate da una trasversale

t

che formano angoli alterni esterni supplementari tra loro non congruenti. Che cosa è possibile dedurre?

A:

r

e

s

sono parallele.

B:

r

e

t

sono perpendicolari.

C:

r

e

s

sono incidenti.

D:

r

e

s

possono essere parallele o incidenti.

Scelta multipla

Vero o falso?

A:

Se due rette formano con una trasversale angoli coniugati interni, allora non possono essere parallele.

B:

Affinché due rette incidenti siano perpendicolari è sufficiente che formino un solo angolo retto.

C:

Due rette parallele tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli alterni esterni supplementari.

D:

Due rette perpendicolari a una stessa retta formano angoli corrispondenti supplementari.

Vero o falso

La figura rappresenta due specchi piani,

S_{1}

e

S_{2}

, perpendicolari tra loro, e un raggio luminoso che incide in

A

. Applica la legge della riflessione prima allo specchio

S_{1}

, poi allo specchio

S_{2}

e disegna il cammino del raggio riflesso. Dimostra che il raggio riflesso da

S_{2}

è parallelo al raggio incidente in

A

.

Disegniamo il cammino del raggio riflesso, applicando la legge della riflessione.

Il raggio riflesso da

S_{2}

è parallelo al raggio incidente in

A

, perché tagliati dal raggio che riflesso da

S_{1}

formano angoli ________ supplementari.

Completamento chiuso

Determina l'ampiezza degli angoli

x

e

y

nella figura.

Poiché ________ e

α

sono angoli ________, si ha

180^{\circ} - \frac{7}{2} α = α

, da cui

α = 40^{\circ}

.

x

è l'angolo supplementare a

\frac{7}{2} α

, per cui

x = 40^{\circ}

.

y

è l'angolo ________ a

x

, per cui

y = 50^{\circ}

.

Completamento chiuso

Nella figura

A E ≅ E D ≅ B C

,

A B ≅ E C

,

E B ≅ C D

.
Dimostra che

A B ∥ E C

,

B E ∥ C D

,

A D ∥ B C

.

Ipotesi:

A E ≅ E D ≅ B C

;

A B ≅ E C

;

E B ≅ C D

.

Tesi:

A B ∥ E C

;

B E ∥ C D

;

A D ∥ B C

.

Dimostrazione

I triangoli

A E B

e

E D C

sono congruenti per il ________ criterio di congruenza. Infatti, hanno

A E ≅ E D

,

E B ≅ C D

e

A B ≅ E C

per ipotesi.

Da questo segue in particolare che

B \hat{A} E ≅

________, dunque

A B ∥ E C

perché hanno angoli corrispondenti congruenti, considerando la trasversale ________.

Inoltre, segue che

B \hat{E} A ≅ C \hat{D} E

, dunque

B E ∥ C D

perché hanno angoli corrispondenti congruenti, considerando la trasversale

A D

.

I triangoli

A E B

e

B E C

sono congruenti per il terzo criterio di congruenza. Infatti, hanno il lato

E B

in comune,

A E ≅ B C

e

A B ≅ E C

per ipotesi.

Da questo segue in particolare che

A \hat{E} B ≅ C \hat{B} E

, dunque

A D ∥ B C

perché hanno angoli ________ congruenti, considerando la trasversale

B E

.

Completamento chiuso

Determina l'ampiezza degli angoli

x

e

y

nella figura.

Si ha che

α - 12^{\circ} =

________,
da cui

α = 48^{\circ}

e

β = 36^{\circ}

.
Poiché

y

è il ________ di

β

, si ha che

y = 144^{\circ}

.
Per determinare l'ampiezza dell'angolo

x

, tracciamo il prolungamento della trasversale che forma l'angolo

α

con la retta

a

, come mostrato nella figura sotto.

Consideriamo il triangolo che si è venuto a formare: i suoi tre angoli misurano

x - 180^{\circ}

,

β

e

α

.
Poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è ________ si ha che

x - 180^{\circ} + β +

________

= 180^{\circ}

,
da cui

x = 276^{\circ}

.

Completamento chiuso

Nel triangolo isoscele

A B C

di base

B C

, prolunga le altezze

B H

e

C K

di due segmenti,

H D

e

K E

, tali che

H D ≅ B H

e

K E ≅ C K

. Dimostra che:
a. i triangoli

B C D

e

B C E

sono congruenti e isosceli;
b.

E D

è parallelo a

B C

.

Ipotesi:

A B ≅ B C

;

H D ≅ B H

;

K E ≅ C K

.
Tesi:
a.

B C D ≅ B C E

e isosceli;
b.

E D

∥

B C

.

Dimostrazione
Consideriamo i triangoli

B C H

e

C B K

.
Essi hanno:
• il lato

B C

in comune;
•

H \hat{C} B ≅ K \hat{B} C

perché angoli alla base di un triangolo isoscele;
•

C \hat{H} B ≅ C \hat{K} B

perché angoli retti.
Quindi

B C H ≅ C B K

per il secondo criterio di congruenza.
In particolare,

B H ≅ C K

e

H \hat{B} C ≅

________.

Consideriamo i triangoli

B C D

e

C B E

.
Essi hanno:
• il lato

B C

in comune;
•

B D ≅ C E

perché somma di segmenti congruenti;
•

D \hat{B} C ≅ E \hat{C} B

per ________.
Quindi sono congruenti per il ________ criterio di congruenza.

Tracciamo ora la retta

E D

e chiamiamo

O

il punto d'intersezione delle altezze

C K

e

B H

.

Consideriamo il triangolo

C O B

: esso è isoscele perché

O \hat{B} C ≅ O \hat{C} B

e dunque

O \hat{B} C = \frac{180^{\circ} - B \hat{O} C}{2}

.
Consideriamo il triangolo

O D E

.
Esso è un triangolo isoscele poiché

O D ≅ E O

poiché differenza di segmenti congruenti.
Qundi

O \hat{D} E ≅ D \hat{E} O

, poiché angoli alla base di un triangolo isoscele.
In particolare,

E \hat{D} O =

________.
Inoltre,

E \hat{O} D = C \hat{O} B

perché angoli opposti al vertice, dunque si ha che

\frac{180^{\circ} - E \hat{O} D}{2} = \frac{180^{\circ} - B \hat{O} C}{2}

,
ossia

E \hat{D} O = O \hat{B} C

.
Di conseguenza le rette

E D

e

B C

sono parallele perché formano angoli ________ congruenti, tagliate dalla trasversale

B D

.

Completamento chiuso

Sapendo che le rette

r

e

s

sono parallele e

C D

è bisettrice dell'angolo

A \hat{C} B

, associa a ciascun angolo la propria misura.

D \hat{C} B

________

C \hat{B} D

________

A \hat{C} E

________

F \hat{A} C

________

Posizionamento

Nel triangolo

A B C

, isoscele sulla base

A B

, chiama

C H

l'altezza relativa alla base. L'asse del segmento

C H

interseca

C H

,

A C

e

B C

rispettivamente in

M

,

P

e

Q

. Da

Q

traccia la parallela a

C H

fino a incontrare

A B

in

E

. Dimostra che

M E

è parallelo a

B C

.

Ipotesi:

B C ≅ A C

;

C H ⊥ A B

;

Q P ⊥ A H

;

C M ≅ M H

;

Q E ∥ C H

.

Tesi:

M E ∥ B C

.

Dimostrazione
I triangoli

C Q M

e

M E H

sono congruenti perché sono triangoli rettangoli con due cateti uguali. Infatti,

C M ≅ M H

per ipotesi e

Q M ≅

________ perché lati opposti di un rettangolo.

Di conseguenza

M \hat{E} H ≅

________.

Inoltre,

C \hat{Q} M ≅

________ perché angoli corrispondenti considerando le rette parallele

P Q

e

A B

tagliate dalla trasversale

C B

.

Ne segue che

M \hat{E} H ≅ Q \hat{B} E

e quindi

M E ∥ B C

poiché hanno angoli ________ congruenti.

Completamento chiuso

Sull'asse di un segmento

A B

considera un punto

P

. Prendi due punti

M

e

N

, rispettivamente su

A P

e

B P

, tali che le proiezioni dei segmenti

A M

e

B N

su

A B

siano congruenti. Dimostra che:
a.

A N ≅ B M

;
b.

M N ∥ A B

.

Ipotesi:

A Q ≅ Q B

;

P Q ⊥ A B

;

N H ⊥ A B

;

M K ⊥ A B

;

A H ≅ K B

.

Tesi:

A N ≅ B M

;

M N ∥ A B

;

Dimostrazione
a.
I quadrilateri

A P Q

e

P Q B

sono congruenti perché rettangoli e con due cateti congruenti.
Quindi

P \hat{A} Q ≅

________.

Ne segue che i triangoli rettangoli

A M H

e

K N B

sono congruenti perché hanno un cateto e angoli congruenti. Di conseguenza

A M ≅

________.

I triangoli

A N B

e

A M B

sono congruenti per il ________ criterio di congruenza. Di conseguenza

A N ≅ B M

.

b.
Dalla congruenza di

A M H

e

K N B

si ha che

M H ≅ N K

quindi il quadrilatero

N M H K

è un ________. Di conseguenza

M N ∥ A B

.

Completamento chiuso