Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1 Fondamentali alla prova - Le applicazioni delle disequazioni

FAPbbtblu21 - Le applicazioni delle disequazioni

13 esercizi

SVOLGI

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Matematica

Equazioni irrazionali con radicali di indice pari

Risolvi la seguente equazione.

$4 + \sqrt{11 - 2 x} = x$

L'equazione irrazionale equivale al sistema:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	________	.
	$11 - 2 x = x^{2} + 16 - 8 x$

Risolviamolo:

${\begin{matrix} x \geq 4 \\ x^{2} - 6 x + 5 = 0 \end{matrix} \to$ ________.

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Matematica

Equazioni irrazionali con radicali di indice pari

Risolvi la seguente equazione.

$\sqrt{x^{2} - x + 3} - x = 1$

L'equazione irrazionale equivale al sistema:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x + 1 \geq 0$	.
	$x^{2} - x + 3 =$ ________

Risolviamolo:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	________	$\to x = \frac{2}{3}$ .
	$- 3 x + 2 = 0$

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Matematica

Equazioni irrazionali con radicali di indice dispari

Risolvi la seguente disequazione.

x - \sqrt[3]{4 x^{2} + 5 x + 1} = - 1

Risolviamo l'equazione irrazionale:

4 x^{2} + 5 x + 1 =

________

\to

________

= 0

\to

x = 0, x = - 1, x = 2.

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Matematica

Equazioni irrazionali con radicali di indice dispari

Risolvi la seguente equazione.

\sqrt[3]{2 x^{2} (x - 2)} = \sqrt[3]{x^{2}}

Risolviamo l'equazione irrazionale:

2 x^{2} (x - 2) =

________

\to

2 x^{3} - 5 x^{2} = 0 \to

x = 0, x =

________.

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Matematica

Equazioni irrazionali fratte

Risolvi l'equazione

\sqrt{\frac{3 x^{2} - x + 6}{x + 2}} = 2

.

Determiniamo le condizioni di esistenza ponendo il radicando ________

0

\frac{3 x^{2} - x + 6}{x + 2} \geq 0 \to

N > 0 : 3 x^{2} - x + 6 > 0 \to \forall x \in R;

;

D > 0 : x + 2 > 0 \to x >

________.
Quindi le C.E. sono

x > - 2

.

Risolviamo l'equazione.

\frac{3 x^{2} - x + 6}{x + 2} =

________

\to

3 x^{3} -

________

- 2 = 0 \to

x = 2; x =

________.
Entrambe le soluzioni sono accettabili.

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Matematica

Problemi con le equazioni irrazionali

Utilizzando i dati in figura, determina l'area del triangolo rettangolo $A B C$ .

Indichiamo con $x$ il lato $A B$ .

Possiamo scrivere il perimetro come:

$x +$ ________ $+ \sqrt{x^{2} + (x - 5)^{2}} = 60$ .

Risolviamo l'equazione irrazionale e determiniamo $x$ :

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$- 2 x + 65 \geq 0$	$\to$
	$2 x^{2} - 10 x + 25 =$ ________

${\begin{matrix} x \leq \frac{65}{2} \\ x^{2} - 125 x + 2100 = 0 \end{matrix} \to$ ________.

Accettiamo solo $x = 20$ perché la misura di un lato non può essere maggiore del perimetro.

L'area del triangolo è quindi uguale a ________.

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Matematica

Disequazioni irrazionali

Risolvi la seguente disequazione.

$\sqrt{31 - 18 x} \leq 3 x + 4$

La disequazione equivale al sistema:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$31 - 18 x \geq 0$	.
	$3 x + 4$ ________ $0$
	$31 - 18 x \leq$ $9 x^{2} + 16 + 24 x$

Risolviamo il sistema:

${\begin{matrix} x \leq \frac{31}{18} \\ x \geq - \frac{4}{3} \\ 3 x^{2} + 14 x - 5 \geq 0 \end{matrix} \to$

________ $\leq x \leq \frac{31}{18}$ .

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Matematica

Disequazioni irrazionali

Risolvi la seguente disequazione.

\sqrt[3]{x^{2} + x - 1} \geq \sqrt[3]{- 3}

Risolviamo la disequazione:

x^{2} + x - 1 \geq

________

\to

x^{2} + x + 2 \geq 0 \to

________.

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Matematica

Disequazioni irrazionali

Risolvi la seguente disequazione.

$\sqrt{x^{2} + 7} - x + 7 \geq 0$

Le soluzioni della disequazione si ottengono dall'unione delle soluzioni di due sistemi:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x^{2} + 7 \geq 0$	$\lor$
	$x - 7$ ________ $0$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x - 7 \geq 0$	.
	$x^{2} + 7 \geq x^{2} + 49 - 14 x$

Risolviamo i due sistemi:

${\begin{matrix} \forall x \in R \\ x < 7 \end{matrix} \lor$	${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x$ ________ $7$	.
		$x \geq 3$

Quindi la disequazione è soddisfatta per:

________.

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Matematica

Disequazioni irrazionali

Risolvi la seguente disequazione.

\sqrt[3]{4 - x^{2}} \leq - \sqrt[3]{(2 - x)^{2}}

Risolviamo la disequazione:

4 - x^{2} \leq

________

(2 - x)^{2}

\to

4 - x^{2} \leq

________

\to

x \geq 2

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Matematica

Equazioni con valori assoluti

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

| - x - 4 | = x + 4. \forall x \in R .

| x | + | x^{2} - 9 | = | x + x^{2} - 9 |

\forall x \in R

| x | = 6 \to x = \pm 6.

| - \frac{3}{x^{2}} | \cdot | x | = | \frac{3}{x} |

\forall x \in R, x \neq 0

Vero o falso

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Matematica

Disequazioni con valori assoluti

Qual è la soluzione della disequazione seguente?

\frac{4 + | 2 x - 9 |}{3 | 2 x - 9 | + | 9 - 2 x |} \geq 0

R

x = \frac{9}{2}

x < - \frac{9}{2} \lor x > \frac{9}{2}

x \neq \frac{9}{2}

Scelta multipla

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Matematica

Disequazioni con valori assoluti

Trova le soluzioni della seguente disequazione al variare di $k$ in $R$ :

$| 8 - 3 x | + k - 4 \leq 0$

La disequazione è equivalente ai sistemi:

${\begin{matrix} 8 - 3 x \geq 0 \\ 8 - 3 x + k - 4 \leq 0 \end{matrix} \lor$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$8 - 3 x < 0$	.
	________ $+ k - 4 \leq 0$

Risolviamo i due sistemi:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x \leq \frac{8}{3}$	$\lor$	${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x > \frac{8}{3}$	.
	$x$ ________ $\frac{k + 4}{3}$			$x \leq \frac{12 - k}{3}$

Per il primo sistema abbiamo che se:

$\frac{k + 4}{3} > \frac{8}{3} \to k > 4 \to$ ________
$\frac{k + 4}{3} \leq \frac{8}{3} \to k \leq 4 \to$ $\frac{k + 4}{3} \leq x \leq \frac{8}{3}$ .

Per il secondo sistema abbiamo che se:

$\frac{12 - k}{3} > \frac{8}{3} \to$ ________ $\to$ $\frac{8}{3} < x \leq \frac{12 - k}{3};$
$\frac{12 - k}{3} \leq \frac{8}{3} \to k \geq 4 \to ∄ x \in R .$

In conclusione abbiamo quindi che:

$k \leq 4 : \frac{k + 4}{3} \leq x \leq$ ________;

$k > 4; ∄ x \in R .$

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