FAPbbtazzG5 - La proporzionalità e la similitudine #492505

Similitudine e teoremi di Euclide

Osserva la figura. Elenca tutte le coppie di triangoli rettangoli simili ed esprimi le proporzioni fra i lati che permettono di enunciare i teoremi di Euclide.

Le coppie di triangoli simili sono:
•

A H C

e

A B C

per il secondo corollario del ________ criterio di similitudine. Essi sono infatti triangoli rettangoli e hanno l'angolo

C \hat{A} H

in comune.

•

C H B

e

A B C

per il secondo corollario del

1^{\circ}

criterio di similitudine. Essi sono infatti triangoli rettangoli e hanno l'angolo ________ in comune.

•

A H C

e

C H B

per il secondo corollario del

1^{\circ}

criterio di similitudine. Essi sono infatti triangoli rettangoli e hanno gli angoli

C \hat{A} H

e ________ congruenti.

Per il

1^{\circ}

teorema di Euclide possiamo scrivere

A B : A C = A C :

________.

Per il

2^{\circ}

teorema di Euclide possiamo scrivere

A H : H C = H C :

________.

Completamento chiuso

Similitudine e triangoli

Sul lato $A B$ di un parallelogramma $A B C D$ individua un punto $P$ tale che $P B ≅ 2 A P$ . Traccia da $P$ la parallela al lato $B C$ , che interseca in $Q$ la diagonale $A C$ . Determina l'area del triangolo $A P Q$ , sapendo che l'area del parallelogramma è $36$ cm².

Disegniamo la figura.

Consideriamo i triangoli $A P Q$ e $A B C$ . Essi hanno:

$\hat{A}$ è in comune;
$A \hat{Q} P ≅ A \hat{C} B$ perché sono angoli ________ su rette parallele;

quindi $A P Q \sim A B C$ per il ________ criterio di similitudine.

In particolare, $A B ≅$ ________ per ipotesi quindi il rapporto di similitudine è $3$ .

Inoltre $A_{A B C D} = 2 A_{A B C}$ e
$A_{A B C} =$ ________ $A_{A P Q}$ quindi
$A_{A P Q} =$ ________ $=$ $2$ cm².

Completamento chiuso

Proporzioni fra grandezze

In un triangolo rettangolo gli angoli acuti sono proporzionali a

10

e

8

. Determina la loro ampiezza.

Disegniamo la figura.

\hat{B} = 90^{\circ}

________

\hat{C}

perché il triangolo

A B C

è rettangolo in

\hat{A}

e la somma degli angoli ________ di un triangolo è di

180^{\circ}

.

\hat{B} : \hat{C} = 8 : 10 \to

(90^{\circ}

________

\hat{C}) : \hat{C} = 8 : 10 \to

90^{\circ} : \hat{C} = 18 : 10

per la proprietà del ________

\to

\hat{C} = \frac{90^{\circ} \cdot 10}{18} =

________.

Quindi

\hat{B} =

________.

Completamento chiuso

Teorema della bisettrice

Nel triangolo

A B C

, la bisettrice

A D

dell'angolo

\hat{A}

divide il lato

B C

in due segmenti lunghi

5

cm e

11

cm. Determina la lunghezza di

A B

e

A C

, sapendo che il perimetro del triangolo è di

128

cm.

Per il teorema della bisettrice, possiamo scrivere:

\bar{D C} : \bar{B D} =

________.
In particolare:

11 : 5 = \bar{A C} : \bar{A B} \to

\frac{\bar{A C}}{\bar{A B}} =

________.
Consideriamo ora il perimetro del triangolo, possiamo scrivere:

P = 5 + 11 + \bar{A B} + \bar{A C} \to

128 = 16 + \bar{A B} + \frac{11}{5}

________.
Risolvendo l'equazione, otteniamo

\frac{16}{5} \bar{A B} = 112 \to \bar{A B} = 35

.
Quindi il lato

A B

misura

35

cm e il lato

A C

misura

A C = \frac{11}{5} \cdot 35 = 77

cm.

Completamento chiuso

I criteri di similitudine dei triangoli

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. Se due triangoli hanno:

A:

due angoli ordinatamente in proporzione, allora sono simili.

B:

un angolo congruente e un lato in proporzione, allora non è detto che siano simili.

C:

tre lati ordinatamente in proporzione, allora sono simili.

D:

un angolo retto e un angolo acuto congruente, allora non sono simili.

Vero o falso

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo

A B C

rettangolo in

C

il segmento

C H

è l'altezza relativa all'ipotenusa. Se

C H ≅ 3 A H

e l'area di

A H C

è

20

cm², qual è l'area di

B C H

?

L'area di

A H C

è

20

cm², quindi

A_{A H C} =

________

\to

\frac{A H \cdot C H}{2} = 20 \to A H \cdot C H = 40

.
Sappiamo anche che

C H ≅ 3 A H

\to A H ≅ \frac{1}{3} C H

,
sostituendo nell'espressione appena trovata avremo

{C H}^{2} = 120

.
Applichiamo il

2^{\circ}

teorema di Euclide:
________

: C H = C H : B H

,
quindi

A H \cdot B H = {C H}^{2} \to A H \cdot B H = 120

.
Poiché

A H = \frac{1}{3} C H

, si ha

B H = \frac{360}{C H}

.
Calcoliamo quindi l'area di

B C H

:

A_{B C H} = \frac{B H \cdot C H}{2} = 180

cm².

Completamento chiuso

Teorema di Talete

Costruisci un triangolo

A B C

. Da un punto

P

di

A B

traccia la parallela a

C B

e chiama

Q

il suo punto di intersezione con

A C

. Da

P

traccia la parallela a

Q B

e indica con

R

la sua intersezione con

A C

. Dimostra che

A Q

è medio proporzionale fra

A R

e

A C

.

Disegniamo la figura.

Ipotesi

P Q ∥ B C

;

P R ∥ B Q

.
Tesi

A P : A Q =

________

: A C

.

A R :

________

=

A P :

________ per il teorema di Talete con parallele

P R

e

B Q

.

A P : A B = A Q : A C

per il teorema di Talete con parallele ________ e

B C

.
Quindi

A R :

________

= A Q : A C

per transitività dell'uguaglianza.

Completamento chiuso

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto è lungo

12

cm e la sua proiezione sull'ipotenusa è la metà del cateto stesso.
Calcola la lunghezza dell'ipotenusa.

Se il cateto

A C = 12

cm allora
________

= 6

cm.
Per il ________ teorema di Euclide possiamo scrivere:

A B : A C = A C :

________

\to

A B = \frac{{A C}^{2}}{A H} = \frac{12^{2}}{6} = 24

cm.

Completamento chiuso

Proprietà dei poligoni simili

Il rapporto tra i perimetri di due quadrilateri simili è

\frac{3}{4}

. Se il quadrilatero di perimetro maggiore ha area

64

dm², qual è l'area del secondo?

A:

36

dm²

B:

48

dm²

C:

≃ 113, 8

dm²

D:

≃ 85, 3

dm²

Scelta multipla

Similitudine e poligoni

Dimostra che tracciando le diagonali di due rettangoli simili si ottengono triangoli corrispondenti simili.

Disegniamo i due rettangoli simili e tracciamo le diagonali

B D

e

B^{'} D^{'}

. Il ragionamento che segue si può applicare in modo analogo anche per le altre diagonali

A C

e

A^{'} C^{'}

.

I rettangoli sono simili quindi hanno ________ in proporzione:

A B : A D = A^{'} B^{'} : A^{'} D^{'}

.
Inoltre, essendo rettangoli, hanno gli angoli

B \hat{A} D

e

B^{'} \hat{A^{'}} D^{'}

retti. Pertanto, se consideriamo i triangoli

A B D

e ________, essi sono simili per il ________ criterio di similitudine dei triangoli rettangoli.
Analogamente si può dimostrare che

B C D \sim B^{'} C^{'} D^{'}

.

Completamento chiuso