FAPONbbtbluG8 - Le trasformazioni geometriche

Determina se la retta di equazione $x-y+3=0$, trasformata con traslazione del vettore $\overrightarrow{v}(5;-2)$ prima e del vettore $\overrightarrow{u}(-3;1)$ poi, passa per l'origine degli assi cartesiani.

Troviamo il vettore somma
$\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}=($________;$-1)$.

Le equazioni della composizione delle due traslazioni sono quindi

Applichiamo la trasformazione all'equazione della retta utilizzando le sostituzioni

$x-y+3=0\to$

$x^{\prime }-2$________$y^{\prime }$________$1+3=0\to$

$x^{\prime }$________$y^{\prime }=0$.

L'equazione della retta trasformata è dunque $y=$________ che è una retta che ________ per l'origine degli assi cartesiani.

Trova le coordinate dei vertici del triangolo il cui trasformato attraverso la rotazione $r$ di $-{90}^{\circ }$ con centro l'origine degli assi cartesiani ha vertici $A^{\prime }(0;-3)$, $B^{\prime }(3;0)$ e $C^{\prime }(6;-6)$.

Le equazioni della rotazione $r$ sono

Indichiamo con $A(x_A;y_A)$, $B(x_B;y_B)$ e $C(x_C;y_C)$ le coordinate dei vertici del triangolo.

Applichiamo la trasformazione a tutti e tre i vertici e confrontiamo con i vertici conosciuti:

$A(x_A;y_A)\to A^{\prime }($________; $-x_A)=$$A^{\prime }(0;-3)\to$

$x_A=$________ e $y_A=0$,
cioè $A($________;$0)$;

$B(x_B;y_B)\to B^{\prime }(y_B;$________$)=$$B^{\prime }(3;0)\to$

$x_B=$________ e $y_B=$________,
cioè $B(0;3)$;

$C(x_C;y_C)\to C^{\prime }(y_C;-x_C)=C^{\prime }(6;6)\to$

$x_C=$________ e $y_C=$________,
cioè $C($________; ________$)$.

Trova la retta il cui simmetrico rispetto all'asse $x$ ha equazione $x+2y-2=0$.

Le equazioni della simmetria rispetto all'asse $x$ sono

Consideriamo la retta generica $ax+by+c=0$.

Applichiamo la simmetria alla retta generica con le sostituzioni

$ax+by+c=0\to$

$a{x}^{\prime }$________$b{y}^{\prime }+c=0$.

Confrontiamola con $x+2y-2=0$:

$a=$________, $b=$________ e $c=-2$.

Quindi la retta cercata è $x-2y-2=0$.

$A(2;0)$, $B(5;0)$ e $C(5;4)$ sono i vertici di un triangolo. Trova i vertici del triangolo trasformato con un omotetia:

a.   inversa con $k=-2$;

b.   diretta con ${\displaystyle k=\frac{1}{2}}$.

a.   Le equazioni dell'omotetia sono

Applichiamo ai tre vertici:

$A(2;0)\to A^{\prime }($________;$0)$;

$B(5;0)\to B^{\prime }(-10;$________$)$;

$C(5;4)\to C^{\prime }($________;$-8)$.

b.   Le equazioni dell'omotetia sono

Applichiamo ai tre vertici:

$A(2;0)\to A^{\prime }($________;$0)$;

${\displaystyle B(5;0)\to B^{\prime }(\frac{5}{2};}$________$)$;

$C(5;4)\to C^{\prime }$$($________;$2)$.