Tipo di esercizi
Completamento chiuso,
Vero o falso
Libro
Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1
Capitolo
Fondamentali alla prova - Una prova in più - La proporzionalità e la similitudine
INFO

Matematica

Proporzioni fra grandezze
Una coppia di angoli adiacenti in un parallelogramma ha il rapporto di 45. Trova le misure degli angoli del parallelogramma.

Disegniamo la figura.


DA^B+AB^C=180 perché angoli ________ per le rette parallele AD e BC.

DA^B:AB^C=4:5 
DA^B:(180________DA^B)=4:5
DA^B:180=4:________ per la proprietà del ________
da cui DA^B=________=80.

Quindi AB^C=180________80=________.
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Matematica

Teorema di Talete
Le rette r ed s sono parallele rispettivamente al lato AB e al lato BC del parallelogramma in figura. Completa le proporzioni corrette usando il teorema di Talete.


a   AC:________=AB:AF;

b   EC:AC=________:________;

c   ________:AI=AC:________;

d   ________:AC=________:BC.


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Matematica

Teorema della bisettrice
Nel triangolo ABC la bisettrice dell'angolo A^ taglia il lato opposto in D tale che BD¯=5 cm. Trova il perimetro del triangolo ABC sapendo che AB¯=10 cm e AC¯=12 cm.

Disegniamo la figura.


________:________=AB¯:AC¯ per il teorema della ________.

________:________=10:12 
DC=________=6 cm.

Quindi il perimetro è
2p=10+12+5+________=33 cm.
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Matematica

Similitudine e triangoli

Nel triangolo ABC due rette parallele al lato BC intersecano il lato AB nei punti D e F e il lato AC nei punti E e G tali che AE¯=3 cm, EG¯=5 cm e GC¯=4 cm. Il perimetro del triangolo ABC è 54 cm e la distanza del punto D dal lato AC è 9815 cm. Trova il perimetro e l'area del triangolo AFG.


Disegniamo la figura.

Consideriamo i triangoli ABC e ADE. Essi hanno:

  • A^ è in comune;
  • AB^CAD^E perché angoli corrispondenti per le parallele BC e FG;

quindi ABCADE per il ________ criterio di similitudine.

In particolare il rapporto di similitudine è uguale a AC¯AG¯=________=32.

Quindi 2pABC=322pAFG,

cioè 2pAFG=________2pABC=2354=36 cm.

Troviamo l'area di ADE:

AADE=AE¯DH¯2=1239815=271615 cm².

Consideriamo i triangoli ADE e AFG.

Essi hanno:

  • A^ è in comune;
  • AD^EAF^G perché angoli corrispondenti per le parallele DE e FG;

quindi ADEAFG per il ________ criterio di similitudine.

In particolare il rapporto di similitudine è uguale a AG¯AE¯=83.

Troviamo quindi l'area di AFG:

AAFG=________AADE=

________271615=1215 cm².


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Matematica

Teorema delle secanti
Da un punto P esterno a una circonferenza due secanti PA (con PA>PB) e PD (con PD>PC) sono tali che ABPB e CD7PC.
Dimostra che PB è il doppio di PD.

Disegniamo la figura.


Ipotesi
ABPB;
CD7PC.
Tesi
PB2PD.

PA:PD=________:________ per il teorema delle ________.

(AB________PB):(CD+PC)=PC:PB 

2PB:________=PC:PB 
________PC2=2PB2 
4PC2=PB2 
2PC=PB.
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Matematica

Teorema delle corde

Calcola le lunghezze delle corde AB¯ e CD¯ nella seguente figura.

________:CE=DE:BE per il teorema delle corde.

(2x1):(32x+1)=________:x 

4(32x+1)=x(2x1)  ]

2x27x4=0

Δ=47+32=81

x1,2=7±94=________;
________.

x=________ è l'unica soluzione accettabile.

Quindi

AB¯=2________1+4=________ e

CD¯=324+1+4=________.





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Matematica

Teorema della secante e della tangente
Nel cerchio con area 225π cm ² la secante PA tale che PB è 35 di PA passa per il centro della circonferenza. Trova la lunghezza di PT¯ dove PT è tangente alla circonferenza.

Disegniamo.


Troviamo il raggio della circonferenza:
r=________=225ππ=15 cm.

Quindi AB=________ cm.

AB________PA quindi PA=________ cm e PB=45 cm.

Inoltre ________:________=PT¯:PB¯ per il teorema della secante e della tangente.

75:________=PT¯:45 

PT¯2=45________ 
PT=1515 cm.

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Matematica

Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
Due circonferenze hanno i raggi uno il quadruplo dell'altro. Trova la lunghezza di entrambe le circonferenze e l'area del cerchio più grande, sapendo che l'area del cerchio più piccolo è 9π cm².

Troviamo il raggio della circonferenza più piccola:
r2=________=9=3 cm.
Quindi
C2=________ cm e
C1=________6π=________ cm.
Infine, il raggio della circonferenza più grande è r1=________ cm e l'area del cerchio è
A1=________=________π cm².
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Matematica

Lunghezza di un arco e area di un settore circolare
In una circonferenza di raggio 10 cm la corda AB sottende un angolo alla circonferenza di 30. Calcola la lunghezza dell'arco minore AB e il segmento circolare tra la corda e l'arco.

Disegniamo la figura.


L'angolo al centro AO^B=________ per il teorema degli angoli al centro e alla circonferenza.

Calcoliamo la lunghezza dell'arco
AB=________10=53π cm.

Calcoliamo il settore circolare
SAB=________________=503π cm².

Inoltre, il triangolo AOB è un triangolo ________ di lato 10 cm perché ha due lati congruenti in quanto raggi che includono un angolo di ________ e la sua altezza è ________10=53 cm per l'applicazione del teorema di Pitagora ai triangoli equilateri.

Quindi AAOB=10532=253 cm².

Infine S=503π________253=
25(23π3) cm².


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Matematica

Raggio della circonferenza inscritta e circoscritta
In un triangolo i lati misurano 5 cm, 7 cm e 8 cm. Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.
A: Il raggio della circonferenza inscritta al triangolo è 103 cm.
B: Il raggio della circoferenza circoscritta al triangolo è 733 cm.
C: Se la lunghezza dei tre lati raddoppia il raggio della circonferenza inscritta raddoppia.
D: Se la lunghezza dei tre lati raddoppia il raggio della circonferenza circoscritta diventa il quadruplo.
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