Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1 Fondamentali alla prova - Una prova in più - Le applicazioni delle disequazioni

FAPONbbtblu21 - Le applicazioni delle disequazioni

13 esercizi

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Matematica

Equazioni irrazionali con radicali di indice pari

Risolvi la seguente equazione.

$\sqrt{4 x - 7} - 3 = - 2 x$

L'equazione irrazionale equivale al sistema:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	________	.
	$4 x - 7 = 4 x^{2} - 12 x + 9$ .

Risolviamolo:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	________	$\to x = 2$ .
	$4 x^{2} - 16 x + 16 = 0$ .

La soluzione ________ accettabile quindi l'equazione è ________.

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Matematica

Equazioni irrazionali con radicali di indice pari

Risolvi la seguente equazione.

$\sqrt{3 x^{2} - 6 x - 4} = x - 1$

L'equazione irrazionale equivale al sistema:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x - 1$ ________ $0$	.
	$3 x^{2} - 6 x - 4 = x^{2}$ ________ $2 x + 1$

Risolviamolo:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x$ ________ $1$	$\to x = \frac{2 \pm \sqrt{14}}{2}$ .
	$2 x^{2} - 4 x - 5 = 0$

L'unica soluzione accettabile è
$x =$ ________.

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Matematica

Equazioni irrazionali con radicali di indice dispari

Risolvi la seguente equazione.

\sqrt[3]{- 3 - x^{3} + 2 x^{2} - x} + x = 0

Risolviamo l'equazione irrazionale:

- 3 - x^{3} + 2 x^{2} - x =

________

x^{3} \to

________

= 0 \to

x = - 1, x = \frac{3}{2}

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Matematica

Equazioni irrazionali con radicali di indice dispari

Risolvi la seguente equazione.

\sqrt[3]{x^{2} - x (2 - x)} = \sqrt[3]{2 (9 - x)}

Risolviamo l'equazione irrazionale:

x^{2} - x (2 - x) = 2 (9 - x) \to

2

________

- 18 = 0

\to

x =

________.

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Matematica

Equazioni irrazionali fratte

Risolvi l'equazione

\sqrt{\frac{x^{2} - 15 x + 50}{2 x - 10}} = x + 1

.

Determiniamo le condizioni di esistenza ponendo il radicando ________

0

.
Abbiamo:

\frac{x^{2} - 15 x + 50}{2 x - 10}

________

0

N > 0 :

x^{2} - 15 x + 50 > 0 \to x < 5 \lor x > 10

;

D > 0 :

2 x - 10 > 0 \to x > 5

.
Quindi le C.E. sono

x

________

10

.
Risolviamo l'equazione:

\frac{x^{2} - 15 x + 50}{2 x - 10} = x^{2} + 2 x + 1 \to

\frac{(x - 10) (x - 5)}{2 (x - 5)} = x^{2} + 2 x + 1 \to

x - 10 = 2 x^{2} + 4 x + 2 \to

2 x^{2} + 3 x + 12 = 0

.
Poiché le C.E. sono

x \geq 10

, abbiamo potuto dividere numeratore e denominatore per

x - 5

.
L'equazione

2 x^{2} + 3 x + 12 = 0

Δ

________

0

quindi ________.

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Matematica

Problemi con le equazioni irrazionali

Determina l'area del rombo

A B C D

sapendo che

\bar{A O} - \bar{B O} = 10

e il perimetro del triangolo

A B O

è di

120

.

Indichiamo con

x

la misura del segmento

B O

. Allora

\bar{A O} = 10 + x

. Possiamo utlizzare il teorema di Pitagora sul triangolo

A B O

; scriviamo:
________

= 120 - (x + 10 + x)

.
Risolviamo l'equazione irrazionale e determiniamo

x

{\begin{matrix} 120 - (2 x + 10) \geq 0 \\ x^{2} + 100 + x^{2} + 20 x = 12100 - 440 x + 4 x^{2} \end{matrix} \to

{\begin{matrix} x \leq 55 \\ x^{2} - 230 x + 6000 = 0 \end{matrix} \to

x = 200 \land x = 30.

Accettiamo soltanto

x =

________ per le C.E.
Le due diagonali del rombo sono lunghe

60

e ________.
L'area del rombo

A B C D

è quindi uguale a

A =

________

= 2400

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Matematica

Disequazioni irrazionali

Risolvi la seguente disequazione.

$\sqrt{5 x - 14} \geq x - 3$

La disequazione equivale al sistema:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x \geq \frac{14}{5}$
	$x$ ________ $3$

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Matematica

Disequazioni irrazionali

Risolvi la seguente disequazione.

$- x - 2 < - \sqrt{4 - x^{2}}$

Risolviamo la disequazione:

$- x - 2 < \sqrt{4 - x^{2}} \to$ $\sqrt{4 - x^{2}}$ ________ $x + 2$ .

La disequazione equivale al sistema:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$4 - x^{2} \geq 0$	$\to$
	$x + 2$ ________ $0$
	$4 - x^{2} < x^{2} + 4 x + 4$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$- 2 \leq x \leq 2$	$\to$
	$x$ ________ $- 2$
	$2 x (x + 2) > 0$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$- 2 \leq x \leq 2$	.
	$x$ ________ $- 2$
	$x < - 2 \lor x > 0$

Otteniamo:

________

Quindi la disequazione è soddisfatta per $0 < x \leq 2$ .

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Matematica

Disequazioni irrazionali

Risolvi la seguente disequazione.

\sqrt[3]{7 x^{2} - 8 x + 7} \geq 2 x

Risolviamo la disequazione:

7 x^{2} - 8 x + 7 \geq

________

\to

8 x^{3} - 7 x^{2} + 8 x - 7

________

0

\to

(8 x - 7) (x^{2} + 1) \leq 0

.

Quindi la disequazione è soddisfatta per

x

________

\frac{7}{8}

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Matematica

Disequazioni irrazionali

Risolvi la seguente disequazione.

\sqrt[3]{9 - 4^{2} + x} \leq \sqrt[3]{x - 3}

Risolviamo la disequazione:

9 - 4 x^{2} + x \leq

________

\to

4 x^{2} - 12 \geq 0

.

Quindi la disequazione è soddisfatta per ________.

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Matematica

Equazioni con valori assoluti

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

| x^{2} | - | x + 1 | = | x^{2} - x + 1 |, \forall x \in R

| x^{2} | \cdot | \frac{1}{3 x} | = | \frac{x}{3} |, \forall x \in R

| 8 - 2 x | = 0 \to x = \pm 4

| x + 2 | = | - x - 2 |, \forall x \in R

Vero o falso

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Matematica

Disequazioni con valori assoluti

Qual è la soluzione della disequazione seguente?

\frac{3 - | 5 - x |}{4 | 5 - x |} + 1 \geq 0

R

x \leq - 5 \lor x \geq 5

x = 5

x \neq 5

Scelta multipla

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Matematica

Trova le soluzioni della seguente disequazione al variare di $k$ in $R$ :

$2 k + 1 \geq | 3 - x | .$

La disequazione è equivalente ai sistemi:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$3 - x$ ________ $0$	$\lor$	${\begin{matrix} 3 - x < 0 \\ 2 k + 1 \geq x - 3 \end{matrix} .$
	$2 k + 1 \geq 3 - x$

Risolviamo i due sistemi:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x \leq 3$	$\lor$	${\begin{matrix} x > 3 \\ x \leq 2 (k + 2) \end{matrix} .$
	$x$ ________ $2 (1 - k)$

Per il primo sistema abbiamo che se:

$2 (1 - k) > 3 \to k < - \frac{1}{2} \to$ ________;
$2 (1 - k) \leq 3 \to k \geq - \frac{1}{2} \to 2 (1 - k) \leq x \leq 3$ .

Per il secondo sistema abbiamo che:

$2 (k + 2)$ ________ $3$ $\to$ $k$ ________ $- \frac{1}{2}$ $\to$ $3 < x \leq 2 (k + 2);$
$2 (k + 2)$ ________ $3$ $\to$ $k$ ________ $- \frac{1}{2}$ $\to$ $∄ x \in R$ .

In conclusione abbiamo quindi che:

$k$ ________ $- \frac{1}{2} : ∄ x \in R$ ;

$k$ ________ $- \frac{1}{2} : 2 (1 - k) \leq x \leq 2 (k + 2)$ .

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