FAPONbbtazzG5 - La proporzionalità e la similitudine

Nel triangolo $ABC$ due rette parallele al lato $BC$ intersecano il lato $AB$ nei punti $D$ e $F$ e il lato $AC$ nei punti $E$ e $G$ tali che $\overline{AE}=3$ cm, $\overline{EG}=5$ cm e $\overline{GC}=4$ cm. Il perimetro del triangolo $ABC$ è $54$ cm e la distanza del punto $D$ dal lato $AC$ è ${\displaystyle \frac{9}{8}\sqrt{15}}$ cm. Trova il perimetro e l'area del triangolo $AFG$.

Disegniamo la figura.

Consideriamo i triangoli $ABC$ e $ADE$. Essi hanno:

• $\hat{A}$ è in comune;
• $A\hat{B}C\cong A\hat{D}E$ perché angoli corrispondenti per le parallele $BC$ e $FG$;

quindi $ABC\sim ADE$ per il ________ criterio di similitudine.

In particolare il rapporto di similitudine è uguale a ${\displaystyle \frac{\overline{AC}}{\overline{AG}}=}$________$={\displaystyle \frac{3}{2}}$.

Quindi $2p_{ABC}=\frac{3}{2}\cdot 2p_{AFG}$,

cioè $2p_{AFG}=$________$\cdot 2p_{ABC}=$${\displaystyle \frac{2}{3}\cdot 54=36}$ cm.

Troviamo l'area di $ADE$:

${\displaystyle {\mathcal{A}}_{ADE}=\frac{\overline{AE}\cdot \overline{DH}}{2}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \frac{9}{8}\sqrt{15}=\frac{27}{16}\sqrt{15}}$ cm².

Consideriamo i triangoli $ADE$ e $AFG$.

Essi hanno:

• $\hat{A}$ è in comune;
• $A\hat{D}E\cong A\hat{F}G$ perché angoli corrispondenti per le parallele $DE$ e $FG$;

quindi $ADE\sim AFG$ per il ________ criterio di similitudine.

In particolare il rapporto di similitudine è uguale a ${\displaystyle \frac{\overline{AG}}{\overline{AE}}=\frac{8}{3}}$.

Troviamo quindi l'area di $AFG$:

$A_{AFG}=$________${\mathcal{A}}_{ADE}=$

________${\displaystyle \cdot \frac{27}{16}\sqrt{15}=12\sqrt{15}}$ cm².