Equazioni di secondo grado - Prova 2

Risolvi la seguente equazione nell’incognita x, discutendo i valori del parametro reale a se necessario.

$\frac{2}{\mathit{x}+3\mathit{a}}-\frac{4\mathit{x}+1}{\mathit{x}-3\mathit{a}}=\frac{12\mathit{a}}{9{\mathit{a}}^2-{\mathit{x}}^2}$

Determina per quali valori del parametro reale k l’equazione, nell’incognita x, ${\mathit{x}}^2+(6\mathit{k}-1)\mathit{x}+9{\mathit{k}}^2=0$ ha radici reali e:

1. soluzioni coincidenti;

2. una soluzione uguale $\text{a}+1$;

3. somma delle soluzioni uguale a 13;

4. la somma delle soluzioni è tripla del loro prodotto.

Luigi, per usare il cellulare, deve digitare un codice PIN di quattro cifre fornito dalla ditta. Temendo di dimenticare il codice, decide di scrivere nella sua agenda, nel giorno del suo compleanno, un’equazione la cui soluzione di quattro cifre è il PIN stesso.

Luigi infatti osserva che il PIN elevato alla seconda e sommato al prodotto fra il PIN diminuito del suo giorno di nascita per il PIN diminuito del suo anno di nascita è uguale al suo anno di nascita sommato al prodotto del PIN aumentato del mese di nascita per il PIN aumentato dell’anno di nascita.

Sapendo che Luigi è nato l’undici ottobre 1980, scrivi l’equazione e trova il PIN.

Determina per quali valori del parametro reale a l’equazione, nell’incognita x, $3{\mathit{ax}}^2+(2\mathit{a}+1)\mathit{x}+1-\mathit{a}=0$, con $\mathit{a}\ne 0$,

ha soluzioni che verificano le condizioni indicate:

1. le soluzioni sono opposte;

2. il prodotto delle radici è 2;

3. le soluzioni sono discordi;

4. il quadrato della differenza delle soluzioni è $\frac{25}{9}$.