VerTc29 - Analisi numerica

8 esercizi
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Matematica

Separazione delle radici
Considera la funzione x53x1 e l'equazione f(x)=0. Stabilisci quale delle seguenti affermazioni è falsa.
A: Nell'intervallo [0;2], l'equazione ha una sola soluzione.
B: Nell'intervallo [1,5;1] la funzione f(x) ha un solo zero.
C: Il grafico di f(x) interseca l'asse delle ascisse in un solo punto.
D: I grafici delle funzioni h(x)=x5 e g(x)=3x+1 si intersecano in tre punti.
Scelta multipla
1

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Matematica

Metodo di bisezione
Considera l'equazione x5+x31=0.
a.   Dimostra che nell'intervallo [0;1] l'equazione ha una sola soluzione e determina con il metodo di bisezione il suo valore approssimato con una cifra decimale esatta.
b.   Quante iterazioni bisognerebbe fare per avere un'approssimazione con un errore minore di 103?

a.   Consideriamo la funzione f(x)=x5+x31.
Osserviamo che
f(x) è continua;
f(0)=1<0;
f(1)=________>0.
Per il teorema di esistenza degli zeri, f(x) ammette ________ uno zero nell'intervallo [0;1].
Poiché f(x)=5x4+3x20,
f(x) è ________.
Dunque la soluzione dell'equazione f(x)=0 è unica.
Con la tabella seguente, dove ________ otteniamo che la soluzione approssimata a una cifra decimale esatta è quindi x=0,8.


b.   ________
Completamento chiuso
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Matematica

Metodo delle secanti
Determina con il metodo delle secanti la soluzione approssimata con tre cifre decimali esatte dell'equazione x+12sinx=0.

Scriviamo l'equazione nella forma
sinx=x+12
e rappresentiamo i grafici delle funzioni g(x)=sinx e h(x)=x+12.

Osserviamo che la soluzione dell'equazione appartiene all'intervallo ________.
Consideriamo la funzione f(x)=x+12sinx.
Poiché
f(2)=2+12sin(2)=
32+sin2<0.
e
f(x)=________________0 per ogni x[2;1],
abbiamo f(2)f(x)>0.
Possiamo perciò usare la formula di ricorrenza
{x0=b0xn+1=xna0xnf(a0)f(xn)f(xn).

Nel caso in esame
x0=________,
xn+1=xn2xn32+sin2xn12+sinxn
(xn+12sinx)=
xn+2+xnsin22xn+sinxn(xn+12sinx).

Calcolando i valori di xn fino a quando si stabilizza la cifra dei millesimi otteniamo che la soluzione approssimata al millesimo è quindi x=1,497.


Completamento chiuso
1

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Matematica

Metodo delle tangenti
Verifica che l'equazione cosx=x23x ha un'unica soluzione nell'intervallo [2;3] e determinala con due cifre decimali esatte usando il metodo delle tangenti.

Tracciamo i grafici delle funzioni
g(x)=cosx e h(x)=x23x
e osserviamo che essi hanno un'unica intersezione nell'intervallo [2;3].

Consideriamo la funzione f(x)=x23xcosx e verifichiamo che la derivata seconda ha segno costante:
f(x)=2x3+sinx,
f(x)=2+________________ per ogni x[2;3].

Poiché
f(2)=2cos2>0
f(3)=cos3<0
la funzione è concorde con la derivata seconda nel punto ________.

Applichiamo la formula di ricorrenza
xn+1=xnf(xn)f(xn)
partendo da x0=3.

Calcoliamo
xn+1=xnxn23xncosxn2xn3+sinxn=
________
fino a che si stabilizza la cifra dei centesimi:
la soluzione approssimata al centesimo dell'equazione è quindi x=2,66.
Completamento chiuso
1

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Matematica

Metodo del punto unito
L'equazione 12ex1x=0 ha due soluzioni c1 e c2. che appartengono rispettivamente agli intervalli [0;2] e [2;3].
A: La condizione sufficiente di convergenza per utilizzare il metodo del punto unito è soddisfatta per entrambi gli intervalli.
B: La successione ottenuta con il metodo del punto unito converge alla soluzione c1 qualunque sia il punto x0[0;2] di partenza.
C: La successione ottenuta con il metodo del punto unito converge alla soluzione c2 qualunque sia il punto x0[2;3] di partenza.
D: Il valore 0,231 è un'approssimazione esatta di c1 fino alla terza cifra decimale.
Vero o falso
1

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Matematica

Integrazione con il metodo dei rettangoli
Calcola due valori approssimati dell'integrale 01xx2+13dx con il metodo dei rettangoli utilizzando una suddivisione in 8 parti.

Suddividiamo l'intervallo [0;1] in 8 parti di ampiezza
h=________=0,125.
Compiliamo la tabella con i punti di suddivisione dell'intervallo e i corrispondenti valori della funzione integranda.


Calcoliamo le somme
Sn=bani=0n1f(xi)=
0,125(0+0,126+0,255+0,392+0,539+
+0,698+0,870+________)=0,492
e
Sn=bani=1nf(xi)=
0,125(________+0,255+0,392+0,539+
0,698+0,870+1,058+1,260)=0,650.

Completamento chiuso
1

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Matematica

Integrazione con il metodo dei trapezi
Considera l'integrale 01211+xdx.
a.   Calcola un valore approssimato dell'integrale con il metodo dei trapezi utilizzando una suddivisione in 5 parti.
b.   Qual è una stima dell'errore commesso con l'approssimazione dell'integrale con il metodo dei trapezi usando una suddivisione in 5 parti?

a.
________

b.
________
Completamento chiuso
1

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Matematica

Integrazione con il metodo delle parabole
Considera 02sinx1+cosxdx.
A: Puoi applicare il metodo delle parabole con una suddivisione in 9 intervalli.
B: Utilizzando il metodo delle parabole con una suddivisione in 10 parti, il valore approssimato con tre cifre decimali è 1,231.
C: Il metodo delle parabole fornisce un valore esatto dell'integrale.
Vero o falso
1

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