VerTc28 - Equazioni differenziali

17 esercizi
SVOLGI
Filtri

Matematica

Verifica della soluzione
Quale delle seguenti funzioni è l'integrale generale dell'equazione y6y=0?
A: y=e6x+x
B: y=e6x+c
C: y=ce6x
D: y=ecx
Scelta multipla
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Equazioni differenziali del primo ordine
Associa a ciascun tipo di equazione differenziale del primo ordine l'esempio corrispondente.

1.   y=f(x)   ________

2.   A variabili separabili   ________

3.   Lineare.   ________

4.   Omogenea.   ________

5.   Di Bernoulli.   ________
Posizionamento
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Risoluzione di un'equazione differenziale del primo ordine
Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale y+xex=1.
È un'equazione del tipo y=f(x):
y=1xex
y=1xexdx
y=________xex________exdx
y=xxex+ex+c.
Completamento chiuso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Risoluzione di un'equazione differenziale del primo ordine
Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale y=4xy1.

È un'equazione a variabili separabili:
dydx=4xy1.
Per y1 e abbiamo:
dyy1=4xdx
dyy1=4xdx
________y1=________x2+c
4(y1)=(2x+c)2
y=(2x+c2)2+1, cR.
Inoltre y=1________ soluzione dell'equazione differenziale.
Completamento chiuso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Risoluzione di un'equazione differenziale del primo ordine
Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale y+3sinx=ysinx.

È un'equazione a variabile separabili:
y=ysinx3sinx
dydx=sinx(y3).
Per y________ abbiamo:
dyy3=sinxdx
dyy3=sinxdx
ln|y3|=________cosx+c
|y3|=ecosx+c
y3=±ecosx+c
y=kecosx+________, kR{0}.
Osservato che anche y=3 è soluzione dell'equazione, l'integrale generale può quindi essere scritto come:
y=kecosx+3,kR.
Completamento chiuso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Risoluzione per sostituzione
Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale y=x3+y3xy2.

È un'equazione omogenea.
Posto y=xt(x), con t0 abbiamo
y=t(x)+xt(x),
da cui
t+xt=________
xt=________t
xt=1t2.
Risolviamo l'equazione a variabili separabili ottenuta:
dtdx=1xt2
________dt=dxx
________=ln|x|+c
t=3(ln|x|+c)3
y=x3(ln|x|+c)3.
Completamento chiuso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Risoluzione per sostituzione
Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale y=y+2xy2.

È un'equazione di Bernoulli con α=2.
Per y0, dividiamo entrambi i membri per y2:
yy2=1y+2x.
Posto z=________ abbiamo
z=________y=yy2,
da cui
z=z+2x  z=z2x.
Risolviamo l'equazione lineare del primo ordine ottenuta con
a(x)=1 e b(x)=2x:
A(x)=a(x)dx=x;
b(x)eA(x)dx=2xexdx=
2xex________2exdx=2ex(1x)=.
Allora
z=________[2ex(1x)+c].
Sostituendo otteniamo:
y=ex2ex(1x)+c.
A queste soluzioni si deve aggiungere y=0.
Completamento chiuso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Risoluzione per sostituzione
Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale 2yy=y2.

Posto z=________, derivando e sostituendo l'equazione diventa:
z=z
Per z0 abbiamo:
dzdx=z  dzz=dx
dzz=dx
________=x+c
Poiché z=y20 possiamo scrivere:
z=ex+c
y=±ex+c2=kex2
con k________ considerato che y=0________ soluzione dell'equazione differenziale.
Completamento chiuso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Un problema di cauchy del primo ordine
Quale delle seguenti funzioni è soluzione del problema di Cauchy {y=3x2exy(0)=5?
A: y=6xex+6
B: y=x3ex+6
C: y=x3ex+5
D: y=3x3ex+6
Scelta multipla
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Equazioni differenziali del secondo ordine omogenee
Trova l'integrale generale dell'equazione differenziale y+7y=0.

Scriviamo e risolviamo l'equazione caratteristica associata all'equazione differenziale:
z2+7z=0
z(z+7)=0
z=________  z=0.
La soluzione generale è
y=________+c2e7x.
Completamento chiuso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Equazioni differenziali del secondo ordine omogenee
Trova l'integrale generale dell'equazione differenziale 25y+10y+y=0.

Scriviamo e risolviamo l'equazione caratteristica associata all'equazione differenziale:
25z2+10z+1=0
(5z+1)2=0
z=________.
L'integrale generale dell'equazione differenziale è
________.
Completamento chiuso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Equazioni differenziali del secondo ordine omogenee
Trova l'integrale generale dell'equazione differenziale y+4y=0.

Scriviamo e risolviamo l'equazione caratteristica associata all'equazione differenziale:
z2+4=0
z=±________.
L'integrale generale è quindi
y=________(c1cos2x+c2sin2x).
Completamento chiuso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Equazioni differenziali del secondo ordine complete
Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale y+6y=12x.

Risolviamo l'equazione omogenea associata
y+6y=0.

Le soluzioni della sua equazione caratteristica sono:
z=0  z=6.

L'integrale generale dell'equazione differenziale omogenea quindi è
yo=________+c2e6x.

Cerchiamo una soluzione particolare che è del tipo
yp=________.

Determiniamo i coefficienti a e b, imponendo che yp sia soluzione dell'equazione data:
yp=________+b
yp=2a.

Sostituendo:
2a+12ax+6b=12x,
da cui otteniamo a=1, b=13.
Una soluzione particolare è quindi
yp=x213x.
L'integrale generale è:
y=c1+c2e6x+x213x.
Completamento chiuso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Equazioni differenziali del secondo ordine complete
Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale y4y=2xex.

Risolviamo l'equazione omogenea associata
y4y=0.

Le soluzioni della sua equazione caratteristica sono:
z=0  z=4.

L'integrale generale dell'equazione differenziale omogenea quindi è
yo=________+c2e4x.

Cerchiamo una soluzione particolare che è del tipo
yp=(ax+b)________.

Determiniamo i coefficienti a e b, imponendo che yp sia soluzione dell'equazione data:
yp=________+(ax+b)ex=
ex(ax+a+b),
yp=ex(ax+a+b)+________ex=
ex(ax+2a+b).

Sostituendo:
ex(ax+2a+b)4ex(ax+a+b)=2xex
ex(3ax2a3b)=2xex,
da cui otteniamo a=23,b=________.
Una soluzione particolare è quindi
yp=(23x+49)ex.
L'integrale generale è perciò:
y=c1+c2e4x+(23x+49)ex.
Completamento chiuso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Equazioni differenziali del secondo ordine complete
Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale y+9y=cos3x.

Risolviamo l'equazione omogenea associata
y+9y=0.

Le soluzioni della sua equazione caratteristica sono:
z=±3i.

L'integrale generale dell'equazione differenziale omogenea quindi è
yo=c1cos3x+c2sin3x.

Cerchiamo una soluzione particolare che è del tipo
yp=________(acos3x+bsin3x).

Determiniamo i coefficienti a e b, imponendo che yp sia soluzione dell'equazione data:
yp=(acos3x+bsin3x)+
+x(3asin3x________3bcos3x)=
(a+3b)cos3x+(b3ax)sin3x,

yp=3bcos3x3(a+3bx)sin3x+
3asin3x+3(b3ax)cos3x=
(6b9ax)cos3x+
(6a________9bx)sin3x,

da cui otteniamo a=0, b=16.
Una soluzione particolare è quindi
yp=16x________3x.

L'integrale generale è la somma di y0 e yp:
y=c1cos3x+c2sin3x+16xsin3x.
Completamento chiuso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Un problema di Cauchy del secondo ordine
Quale delle seguenti è la soluzione del problema di Cauchy
{yy2y=3e2xy(0)=5y(0)=1?
A: y=c1e2x+c2ex+xe2x,
c1, c2R.
B: y=e2x+4ex+xe2x
C: y=e2x+4ex
D: y=8xe2x
Scelta multipla
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Un problema di fisica
Una barca si muove sulla superficie di un lago con velocità, espressa in m/s, v(t)=44x(t), dove x(t) è l'ascissa del centro di massa della barca espressa in m. La posizione al tempo t=0s è x0=2m. Determina come varia x al variare di t, espresso in s.

Scriviamo la funzione v(t) come derivata della funzione x(t), ottenendo un'equazione differenziale a variabili separabili:
x=44x
dxdt=4(1x)
dx1x=4dt
ln|1x|=4t+c
|1x|=e4t+c
x(t)=ke4t________1.

Imponiamo la condizione ________:
ke0+1=2
k=1.

La posizione del centro di massa è descritta quindi dalla funzione
x(t)=e4t+1.
Completamento chiuso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza