Triangoli e primo criterio di congruenza

Sui lati dell'angolo di vertice $A$ in figura, i punti $P$ e $Q$ sono tali che $AP\cong AQ$.
Considerati sulla bisettrice dell'angolo i punti $B$ e $C$, dimostra che:
a.   $Q\hat{B}C\cong P\hat{B}C$;
b.   $AC$ è bisettrice di $Q\hat{C}P$.

Ipotesi:
$AP\cong AQ$;
$P\hat{A}B\cong B\hat{A}Q$.

Tesi:
$Q\hat{B}C\cong P\hat{B}C$;
$Q\hat{C}B\cong B\hat{C}P$.

Dimostrazione
Consideriamo i triangoli $APB$ e $AQB$. Essi hanno:
•   $AB$ in comune;
•   $AP\cong AQ$ per ipotesi;
•   $P\hat{A}B\cong B\hat{A}Q$ per ipotesi;
quindi $APB\cong AQB$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, $A\hat{B}P\cong$ ________ e $PB\cong QB$ perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.
Quindi $Q\hat{B}C\cong P\hat{B}C$ perché ________ di angoli congruenti.
Consideriamo i triangoli $PBC$ e $QBC$. Essi hanno:
•   $BC$ è in comune;
•   $PB\cong QB$ per dimostrazione precedente;
•   $Q\hat{B}C\cong P\hat{B}C$ per dimostrazione precedente;
quindi $PBC\cong QBC$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare $Q\hat{C}B\cong B\hat{C}P$.

Dimostra che, in un triangolo isoscele, le mediane relative ai lati congruenti sono congruenti tra loro.

Ipotesi
$AC\cong BC$
$CM\cong AM$
$CN\cong BN$

Tesi
$AN\cong BM$

Dimostrazione

Consideriamo i triangoli $ACN$ e ________.
Essi hanno in comune l'angolo ________ e per l'ipotesi abbiamo che $AB\cong BC$.
Inoltre
$AC\cong 2CM\cong BC\cong 2$________,
dunque $CN\cong CM$, perché metà di segmenti congruenti.

Applichiamo il primo criterio di congruenza ai triangoli $ACN$ e $BCM$ e concludiamo che
$AN\cong BM$.

Completa ciascuna delle seguenti frasi riferendoti al triangolo in figura.
a. Il vertice $C$ è ________ al lato $AB$.
b. L'angolo $C\hat{B}A$ è ________ al lato $CB$.
c. L'angolo ________ è opposto al lato $AC$.
d. L'angolo $A\hat{C}B$ è compreso tra i lati ________ e ________.

Nel triangolo $ABC$ in figura $BP$ è bisettrice dell'angolo $A\hat{B}C$.
a.   Dimostra che $B\hat{P}Q\cong B\hat{P}C$.
b.   Preso un punto $R$ su $BP$, dimostra che $R\hat{Q}P\cong R\hat{C}P$.

Ipotesi:
$BC\cong$ ________;
________ $\cong P\hat{B}C$.

Tesi:
a.   $B\hat{P}Q\cong B\hat{P}C$;
b.   $R\hat{Q}P\cong R\hat{C}P$.

Dimostrazione
Consideriamo i triangoli $BPQ$ e $BPC$. Essi hanno:
•   $BP$ è in comune;
•   $BC\cong BQ$ per ipotesi;
•   $A\hat{B}P\cong P\hat{B}C$ ________
quindi $BPQ\cong BPC$ per il ________ criterio di congruenza fra triangoli.
In particolare $B\hat{P}Q\cong B\hat{P}C$ e $QP\cong PC$ perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.
Consideriamo i triangoli $RPQ$ e $RPC$. Essi hanno:
•   $RP$ è in comune;
•   $R\hat{P}Q\cong R\hat{P}C$ per dimostrazione precedente;
•   $QP\cong PC$ per dimostrazione precedente;
quindi $RPQ\cong RPC$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare $R\hat{Q}P\cong R\hat{C}P$.

Vero o falso?