Triangoli e primo criterio di congruenza #601817

Completa ciascuna delle seguenti frasi riferendoti al triangolo in figura.
a. Il vertice

C

è ________ al lato

A B

.
b. L'angolo

C \hat{B} A

è ________ al lato

C B

.
c. L'angolo ________ è opposto al lato

A C

.
d. L'angolo

A \hat{C} B

è compreso tra i lati ________ e ________.

Completamento chiuso

Sui lati dell'angolo di vertice

A

in figura, i punti

P

e

Q

sono tali che

A P ≅ A Q

.
Considerati sulla bisettrice dell'angolo i punti

B

e

C

, dimostra che:
a.

Q \hat{B} C ≅ P \hat{B} C

;
b.

A C

è bisettrice di

Q \hat{C} P

.

Ipotesi:

A P ≅ A Q

;

P \hat{A} B ≅ B \hat{A} Q

.

Tesi:

Q \hat{B} C ≅ P \hat{B} C

;

Q \hat{C} B ≅ B \hat{C} P

.

Dimostrazione
Consideriamo i triangoli

A P B

e

A Q B

. Essi hanno:
•

A B

in comune;
•

A P ≅ A Q

per ipotesi;
•

P \hat{A} B ≅ B \hat{A} Q

per ipotesi;
quindi

A P B ≅ A Q B

per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare,

A \hat{B} P ≅

________ e

P B ≅ Q B

perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.
Quindi

Q \hat{B} C ≅ P \hat{B} C

perché ________ di angoli congruenti.
Consideriamo i triangoli

P B C

e

Q B C

. Essi hanno:
•

B C

è in comune;
•

P B ≅ Q B

per dimostrazione precedente;
•

Q \hat{B} C ≅ P \hat{B} C

per dimostrazione precedente;
quindi

P B C ≅ Q B C

per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare

Q \hat{C} B ≅ B \hat{C} P

.

Completamento chiuso

Usando le informazioni della figura, dimostra che i triangoli

C B D

e

C^{'} B^{'} D^{'}

sono congruenti.

Dimostrazione
Sappiamo per ipotesi che

A B

è congruente a ________ e che

A C

è congruente a ________. Inoltre, sempre per ipotesi, l'angolo

C \hat{A} B

è ________ all'angolo

C^{'} \hat{A^{'}} B^{'}

. Pertanto, applicando il Primo criterio di congruenza dei triangoli, possiamo dire che i triangoli ________ sono congruenti. Da questo sappiamo che il lato

B C

è congruente al lato ________ e che l'angolo

A \hat{B} C

è congruente all'angolo ________. A questo punto notiamo che gli angoli

C \hat{B} D

e

C^{'} \hat{B^{'}} D^{'}

sono ________ di angoli congruenti, e quindi anche loro sono ________. Possiamo dunque applicare il Primo principio di congruenza tra i triangoli

C B D

e

C^{'} B^{'} D^{'}

poiché abbiamo ________ e ________ tra essi compreso congruenti.

Completamento chiuso

Vero o falso?

A:

Un triangolo isoscele non può essere ottusangolo.

B:

Le altezze di un triangolo sono sempre interne al triangolo.

C:

Un triangolo isoscele può essere equilatero.

D:

In un triangolo rettangolo i cateti sono due altezze.

Vero o falso

Dimostra che, in un triangolo isoscele, le mediane relative ai lati congruenti sono congruenti tra loro.

Ipotesi

A C ≅ B C

C M ≅ A M

C N ≅ B N

Tesi

A N ≅ B M

Dimostrazione

Consideriamo i triangoli

A C N

e ________.
Essi hanno in comune l'angolo ________ e per l'ipotesi abbiamo che

A B ≅ B C

.
Inoltre

A C ≅ 2 C M ≅ B C ≅ 2

________,
dunque

C N ≅ C M

, perché metà di segmenti congruenti.

Applichiamo il primo criterio di congruenza ai triangoli

A C N

e

B C M

e concludiamo che

A N ≅ B M

.

Completamento chiuso

Nel triangolo

A B C

in figura

B P

è bisettrice dell'angolo

A \hat{B} C

.
a. Dimostra che

B \hat{P} Q ≅ B \hat{P} C

.
b. Preso un punto

R

su

B P

, dimostra che

R \hat{Q} P ≅ R \hat{C} P

.

Ipotesi:

B C ≅

________;
________

≅ P \hat{B} C

.

Tesi:
a.

B \hat{P} Q ≅ B \hat{P} C

;
b.

R \hat{Q} P ≅ R \hat{C} P

.

Dimostrazione
Consideriamo i triangoli

B P Q

e

B P C

. Essi hanno:
•

B P

è in comune;
•

B C ≅ B Q

per ipotesi;
•

A \hat{B} P ≅ P \hat{B} C

________
quindi

B P Q ≅ B P C

per il ________ criterio di congruenza fra triangoli.
In particolare

B \hat{P} Q ≅ B \hat{P} C

e

Q P ≅ P C

perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.
Consideriamo i triangoli

R P Q

e

R P C

. Essi hanno:
•

R P

è in comune;
•

R \hat{P} Q ≅ R \hat{P} C

per dimostrazione precedente;
•

Q P ≅ P C

per dimostrazione precedente;
quindi

R P Q ≅ R P C

per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare

R \hat{Q} P ≅ R \hat{C} P

.

Completamento chiuso

Usando le informazioni della figura, per dimostrare che

B C ≅ D E

possiamo usare il primo criterio di congruenza dei triangoli sui triangoli

A B C

e

A D E

perché:

A:

i due angoli sul vertice

A

sono entrambi complementari dell'angolo

C \hat{A} D

, quindi congruenti; perciò i due triangoli hanno due lati e l'angolo compreso tra essi congruenti

B:

i due angoli sul vertice

A

sono entrambi supplementari dell'angolo

C \hat{A} D

, quindi congruenti; perciò i due triangoli hanno due lati e l'angolo compreso tra essi congruenti

C:

i due angoli sul vertice

A

sono entrambi complementari dell'angolo

C \hat{A} D

, quindi congruenti; perciò i due triangoli hanno due angoli e il lato compreso tra essi congruenti

D:

i due angoli sul vertice

A

sono entrambi supplementari dell'angolo

C \hat{A} D

, quindi congruenti; perciò i due triangoli hanno due angoli e il lato compreso tra essi congruenti

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