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Libro
Esercizi per il recupero - Matematica biennio / Volume unico
Capitolo
Teoremi sui triangoli rettangoli
INFO

Matematica

Dimostrazione con il primo teorema di Euclide
\[ABC\] è un triangolo rettangolo in \[C\]. L'altezza \[CH\] divide l'ipotenusa \[AB\] nei due segmenti \[AH\] e \[BH\]. Sapendo che \[\overline{BH} = 3 \overline{AH}\], dimostra che il quadrato costruito su l'ipotenusa \[AB\] è equivalente al doppio della differenza tra le aree dei quadrati costruiti su \[BC\] e su \[AC\].

Si vuole dimostrare che ________.
Per il ________ si sa che:
- ________;
- ________.
Poiché ________, si ottengono le uguaglianze ________ e ________.
Sostituendo quindi \[AH\] e \[BH\] nelle formule precedenti si ottengono le equazioni:
- ________;
- ________.
Si deduce quindi che \[2\left(\overline{BC} -\overline{AC}^2\right) = \overline{AB}^2\].
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Matematica

Problema con il primo teorema di Euclide
Il cateto \[AC\] del triangolo \[ABC\] rettangolo in \[C\] misura 15 cm. Sapendo che la proiezione del cateto \[AC\] sull'ipotenusa \[AB\] misura 9 cm, determina il perimetro del triangolo \[ABC\].

Il perimetro di \[ABC\] misura ________ cm.
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Matematica

Dimostrazione con il teorema di Pitagora
All'interno del quadrato \[ABCD\] si costruisce il quadrato \[PQRS\] con i vertici sul perimetro del quadrato \[ABCD\], uno per lato. Dimostra che il quadrato \[PQRS\] è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui segmenti \[AP\] e \[BP\].

Si vuole dimostrare che ________.
Per il ________ applicato al triangolo rettangolo \[APS\] si ha ________.
Per concludere la dimostrazione è sufficiente dimostrare che ________.
I triangoli rettangoli \[APS\] e \[BPQ\] hanno:
- ________ perché lati del quadrato \[PQRS\];
- ________ perché valgono le uguaglianze ________ e ________.
Quindi i triangoli sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.
In particolare ________ che, unito all'uguaglianza ricavata all'inizio, permette di concludere la dimostrazione.
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Problema con il teorema di Pitagora
Il quadrilatero \[ABCD\] ha un angolo retto in \[B\]. L'area del quadrato costruito sul lato \[AB\] è 64 m2 e l'area del quadrato costruito sul lato \[BC\] è 36 m2. Le diagonali di \[ABCD\] sono perpendicolari si intersecano in \[O\]. Sapendo che \[DO \cong AC\], calcola l'area di \[ABCD\].

L'area di \[ABCD\] misura ________ m2.
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Dimostrazione con il secondo teorema di Euclide
\[ABC\] è un triangolo rettangolo in \[C\]. Sapendo che la lunghezza dell'altezza \[CH\] è il triplo della lunghezza del segmento \[AH\], dimostra che l'area del triangolo \[ABC\] è uguale a 15 volte l'area del quadrato costruito su \[AH\].

Si vuole dimostrare che ________.
Per il ________ si ha ________.
Sostituendo nell'uguaglianza l'ipotesi \[\overline{CH} = 3 \overline{AH}\] e semplificando \[\overline{AH}\] si ottiene ________, da cui consegue che ________.
Quindi \[A_{ABC} = \frac{\overline{AB} \cdot \overline{CH}}{2} = 15 \overline{AH}^2\].
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Matematica

Problema con il secondo teorema di Euclide
L'area del rettangolo \[ABCD\] misura 234 cm2. La diagonale \[BD\] misura 26 cm ed è divisa dalla perpendicolare a \[BD\] passante per il vertice \[C\] nei due segmenti \[BH\] e \[DH\]. Calcola l'area del rettangolo con i lati congruenti ai segmenti \[BH\] e \[DH\].

L'area del rettangolo con i lati congruenti ai segmenti \[BH\] e \[DH\] misura ________ cm2.
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Problema con i teoremi di Euclide e Pitagora
Il trapezio isoscele \[ABCD\] può essere diviso nel quadrato \[HKCD\] e nei triangoli rettangoli \[KBC\] e \[DAH\]. L'area del quadrato \[HKCD\] è 169 m2, inoltre \[\overline{CF} = 12\] m con \[F\] proiezione di \[K\] su \[BC\].
Determina l'area e il perimetro di \[ABCD\].
A: \[\text{Area} = \frac{2873}{12} \] m2, \[2p = \frac{4945}{78}\] m
B: \[\text{Area} = 229 \] m2, \[2p = \frac{4945}{78}\] m
C: \[\text{Area} = \frac{2873}{12} \] m2, \[2p = 65 \] m
D: \[\text{Area} = 229 \] m2, \[2p = 65 \] m
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Matematica

Problema con i teoremi di Euclide e Pitagora
Le diagonali del rombo \[ABCD\] si incontrano nel punto \[O\]. Si sa che la distanza di \[O\] dal lato \[AB\] è pari a 12 cm e che \[\overline{OA} = 15\] cm.
Determina l'area e il perimetro di \[ABCD\].
A: \[\text{Area} = 600 \] m2, \[2p = 100\] m
B: \[\text{Area} = 300 \] m2, \[2p = 200\] m
C: \[\text{Area} = 600 \] m2, \[2p = 200}\] m
D: \[\text{Area} = 300 \] m2, \[2p = 100 \] m
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