Dal vertice del triangolo equilatero traccia dalla parte di il segmento parallelo a e congruente alla sua metà. Dimostra che il quadrilatero è un trapezio rettangolo. Indica poi con il punto di intersezione dei prolungamenti dei lati e e dimostra che .
Dimostrazione
Tracciamo l'altezza del triangolo equilatero . Poiché il triangolo è equilatero, è anche ________ quindi l'altezza è anche mediana, quindi abbiamo che è congruente a ________ ed entrambi sono lunghi la metà del lato . Per ipotesi anche ________ è lungo la metà di , quindi i segmenti , , sono tutti congruenti fra loro. Poiché è altezza, gli angoli formati dal punto sono entrambi ________. Inoltre per ipotesi è parallelo a ________, e il segmento incontra le due parallele formando angoli alterni interni congruenti, quindi anche l'angolo ________ è retto. A questo punto il quadrilatero ha due angoli adiacenti retti e due lati opposti congruenti, quindi è un ________ , che dimostra che il trapezio ha gli angoli in e in retti, quindi è ________ come volevamo.
Consideriamo adesso i triangoli e . Per quanto detto finora, sono entrambi rettangoli, poiché hanno gli angoli in ________ e in ________ retti. Inoltre, i lati ________ sono congruenti perché misurano entrambi metà del lato del triangolo di partenza. Notiamo anche che le rette parallele e sono tagliate dalla retta trasversale ________ e formano quindi gli angoli corrispondenti e , che risultano congruenti tra loro. A questo punto concludiamo che i triangoli e sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli, poiché hanno due angoli e il lato compreso congruenti, da cui otteniamo che i lati e sono congruenti.
Per concludere basta ricordare che il quadrilatero ________ è un rettangolo, quindi i segmenti , e sono tutti congruenti tra loro, come richiesto dall'esercizio.