Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.verde (3ed) Matematica multimediale.verde (3ed) / Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Scomposizioni con il metodo di Ruffini. Somma o differenza di cubi

Scomposizioni con il metodo di Ruffini. Somma o differenza di cubi

6 esercizi

SVOLGI

INFO

Vero o falso? Dato il polinomio

P (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 3

A: gli zeri razionali del polinomio, se esistono, si trovano nell'insieme

{\pm 1; \pm 3}

\frac{1}{2}

è uno zero del polinomio.

P (- 2) = - 15

P (x)

è divisibile per

x + 3

Vero o falso

Scomponi in fattori il seguente polinomio usando il metodo di Ruffini.

$2 x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 2$

Sia $P (x) = 2 x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 2$ .

Troviamo uno zero del polinomio $P (x)$ :

$P ($ ________ $)$ :

	$2$	$1$	$- 4$	$3$	$- 2$

$1$		$2$	$3$	$- 1$	$2$
	$2$	$3$	$- 1$	$2$	$0$

Quindi

$P (x) = (x - 1)$ $(2$ ________ $+ 3$ ________ $- x + 2)$ .

Sia $Q (x) = 2$ ________ $+ 3$ ________ $- x + 2$ .

Troviamo uno zero del polinomio $Q (x)$ :

$Q (- 2) = 0$ .

	$2$	$3$	$- 1$	$2$

$- 2$		$- 4$	$2$	$- 2$
	$2$	________	$1$	$0$

Quindi

$P (x) = (x$ ________ $1)$ $(x + 2) (2 x^{2} - x + 1)$ .

Completamento chiuso

Per quale valore di

a \in R

il polinomio

P (x) = a x^{2} - 5 a x + 8

è divisibile per il binomio

x + 2

a = 4

a = - \frac{4}{7}

a = \frac{4}{3}

a = 1

Scelta multipla

Il polinomio

6 x^{3} - x^{2} - 20 x + 12

è divisibile solo per uno dei seguenti binomi. Stabilisci quale senza svolgere calcoli.

4 x - 3

3 x - 8

x - 5

2 x - 3

Scelta multipla

Scomponi in fattori il seguente polinomio usando il metodo di Ruffini.

$(x - 3)^{3} + 27$

Chiamiamo $x - 3 = t$ .

$(x - 3)^{3} + 27 = t^{3} + 27$ .

Sia $P (t) = t^{3} + 27$ .

Ricerchiamo uno zero del polinomio $P (t)$ :

$P ($ ________ $) = 0$ .

	$1$	$0$	$0$	$27$

________		________	$9$	$9$
	$1$	$- 3$	$- 3$	$0$

$P (t) =$ ________ $(t^{2} - 3 t - 3)$ .

Sostituendo $x - 3$ a $t$ otteniamo il polinomio scomposto $x$ ________.

Completamento chiuso

Dato un numero naturale $n > 1$ , considera la somma tra la sua quarta potenza e il suo quadrato diminuito di $2$ . Scrivi il polinomio che esprime tale somma e, senza eseguire la divisione, verifica che è divisibile sia per il precedente che per il successivo di $n$ . Scomponi in fattori il polinomio.

Sia $P (n)$ il polinomio del problema:

$P (n) = n^{4} +$ ________.

Affinché sia divisibile per il precedente di $n$ , ossia $n$ ________ $1$ , è necessario che

$P ($ ________ $) = 0$ .

$P (1) = 1 + 1 - 2 = 0 \to$ quindi la tesi è verificata.

Affinché sia divisibile per il successivo di $n$ , ossia $n$ ________ $1$ , è necessario che $P (- 1) = 0$ .

$P (- 1) = 1 + 1 - 2 = 0 \to$ quindi la tesi è verificata;

Scomponiamo in fattori $P (n)$ , utilizzando come zero $1$ .

	$1$	$0$	$1$	$0$	$- 2$

$1$		$1$	$1$	$2$	$2$
	$1$	$1$	$2$	$2$	$0$

Quindi

$P (n) = (n$ ________ $1)$ $(n^{3} + n^{2} + 2 n + 2) =$

$(n - 1) [n^{2} (n + 1) + 2 (n + 1)] =$

$(n - 1) (n + 1)$ $(n^{2} +$ ________ $)$ .

Completamento chiuso