Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.rosso triennio (3ª edizione) Matematica.rosso triennio (3ª edizione) / Matematica.rosso 3 24. Funzioni di due variabili in economia

RosTc24 - Funzioni di due variabili in economia

8 esercizi

SVOLGI

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Matematica

Funzioni marginali

La funzione della domanda di un bene dipende dal prezzo

p

del bene e dal reddito

r

dei consumatori secondo la legge

d = - 5 p^{2} - 0, 5 r^{2} + 4 p r

. Se

p = 50

r = 100

, quale delle seguenti affermazioni è vera per piccole variazioni del prezzo e del reddito?

A: Se il reddito resta costante e il prezzo diminuisce, la domanda diminuisce.

B: Se il prezzo resta costante e li reddito aumenta, la domanda diminuisce.

C: La domanda è maggiormente influenzata dalla variazione di prezzo.

D: Nessuna delle precedenti.

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Matematica

Elasticità della domanda

d

è la funzione della domanda di un bene che dipende dal prezzo

p_{1}

del bene, dal prezzo

p_{2}

di un secondo bene e dal reddito

r

del consumatore. I due beni sono succedanei e la domanda è rigida rispetto a tutte le variabili. Quale delle seguenti disuguaglianze è falsa?

ε_{d p_{1}} < 1

d_{p_{2}}^{'} > 0

ε_{d r} > 1

| ε_{d p_{2}} | < 1

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Matematica

Massimo profitto in regime di concorrenza perfetta

Un'impresa opera in un mercato di concorrenza perfetta e vende due beni ai prezzi

p_{1} = 24

p_{2} = 8

. Il costo di produzione è espresso dalla funzione

C (q_{1}; q_{2}) = 4 q_{1}^{2} + 2 q_{2}^{2}

, dove

q_{1}

q_{2}

sono le quantità prodotte e vendute. Determina le quantità che l'impresa deve produrre e vendere per avere il massimo guadagno.

Operiamo in regime di concorrenza perfetta, quindi la funzione del ricavo è:

R =

________
e la funzione utile

U = R - C = 24 q_{1} + 8 q_{2} - 4 q_{1}^{2} - 2 q_{2}^{2}

.
Determiniamo il massimo della funzione utile con le derivate parziali:

U_{q_{1}}^{'} =

________

U_{q_{2}}^{'} =

________
e cerchiamo i punti stazionari.

{\begin{matrix} U_{q_{1}}^{'} = 0 \\ U_{q_{2}}^{'} = 0 \end{matrix} \to

{\begin{matrix} 24 - 8 q_{1} = 0 \\ 8 - 4 q_{2} = 0 \end{matrix} \to {\begin{matrix} q_{1} = 3 \\ q_{2} = 2 \end{matrix}

Calcoliamo le derivate seconde

U_{q_{1} q_{1}}^{″} = - 8

U_{q_{2} q_{2}}^{″} = - 4

U_{q_{1} q_{2}}^{″} =

________
da cui l'hessiano

| H | =

________.
Poiché

H (3; 2)

________ e

U_{q_{1} q_{1}}^{″} (3; 2)

________
le quantità da produrre per avere il massimo guadagno sono

q_{1} = 3

q_{2} = 2

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Matematica

Massimo profitto in regime di monopolio

Un'impresa fabbrica due beni in regime di monopolio al costo unitario

C_{1} = 450

C_{2} = 100

. Le funzioni della domanda dei due beni sono

q_{1} = 3500 - 6 p_{1}

, e

q_{2} = 2100 - 15 p_{2}

. Quale delle seguenti è la combinazione produttiva che consente il massimo utile?

q_{1} = 300, q_{2} = 400

q_{1} = 400, q_{2} = 300

q_{1} = 450, q_{2} = 100

q_{1} = 6, q_{2} = 15

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Matematica

Massimo profitto con un bene con due prezzi diversi

Un'impresa produce un bene che vende su due mercati diversi. Le leggi della domanda sui due mercati sono

q_{1} = 700 - p_{1}

q_{2} = 400 - p_{2}

. Il costo sostenuto per la produzione del bene è espresso dalla legge

C = 13 000 + 20 q + q^{2}

, dove

q = q_{1} + q_{2}

. Stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false.

A: I prezzi dei beni nei due mercati sono

p_{1} = 700 - q_{1}

p_{2} = 400 - q_{2}

B: La funzione del profitto è

U = - q_{1}^{2} - q_{2}^{2} + 700 q_{1} + 400 q_{2}

C: Il massimo profitto si ottiene per

q_{1} = 163, 33

q_{2} = 13, 34

D: Il massimo profitto è

45 066, 68

€.

Vero o falso

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Matematica

Massima produzione con il vincolo di costo

Il vincolo di costo per la produzione di un bene è espresso da

11 500 - 30 K - 50 L = 0

. La funzione di produzione è

Q (K; L) = 80 K^{0, 4} L^{0, 6}

.
Se

(K_{0}; L_{0})

è la combinazione produttiva che rende massima la funzione di produzione, allora:

L_{0} = 138.

K_{0} = 153, 3.

Q (K_{0} + 10; L_{0} - 60) > 11515, 2

Q (2 K_{0}; 2 L_{0}) = 5757, 6.

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Matematica

Minimo costo con il vincolo di produzione

Un'azienda produce

1800

unità di un bene sostenendo dei costi unitari

c_{1} = 720

per il capitale

K

c_{2} = 630

per il lavoro

L

. La funzione di produzione è

Q (K; L) = 600 K^{0, 8} L^{0, 6}

. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?

A: Nel punto

(2, 01; 2, 34)

del piano

O L K

l'isocosto è tangente al vincolo di produzione.

B: Il costo minimo è

2951, 1

C: Il costo per

2, 01

unità di lavoro e

2, 34

unità di capitale è pari a

1800

Q (2, 01; 2, 34) = 1800

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Matematica

Massimo della funzione dell'utilità

Dato il vincolo di bilancio $q_{1} + q_{2} = 50$ e la funzione dell'utilità $U (q_{1}; q_{2}) = 4 q_{1} q_{2} + q_{1} + q_{2}$ ,
dove con $q_{1}$ e $q_{2}$ indichiamo le quantità di due beni, determina il paniere che rende massima la funzione dell'utilità del consumatore.

Determiniamo il massimo della funzione $U (q_{1}; q_{2})$ soggetta al vincolo $q_{1} + q_{2} = 50$ .

Scriviamo la funzione lagrangiana:

$F (q_{1}; q_{2}; λ) =$

________

Determiniamo i punti stazionari di $F$ :

${\begin{matrix} \end{matrix}$	________
	________
	$50 - q_{1} - q_{2} = 0$

da cui

${\begin{matrix} q_{1} = 25 \\ q_{2} = 25 \\ λ = 101 \end{matrix}$

Abbiamo ottenuto un unico punto stazionario per $F$ , che è di massimo, pertanto il paniere è costituito da $q_{1} = 25$ e $q_{2} = 25$ .

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