RosTc23 - Funzioni di due variabili #447684 - Prove ed esercizi Zanichelli

Linee di livello

Nel grafico sono rappresentate alcune linee di livello di una funzione.
a. Qual è l'espressione della funzione?
b. Quale dei seguenti è il minimo relativo della funzione?

a.
________

b.
________

Completamento chiuso

Piano tangente

Considera i punti

O (0; 0; 0)

,

P (1; 1; 6)

e

Q (1; - 1; 0)

.
a. Quale tra le seguenti è l'equazione del piano passante per i punti

O

,

P

e

Q

?
b. Per quale delle seguenti funzioni tale piano è il piano tangente al suo grafico nel punto

Q

?

a.
________

b.
________

Completamento chiuso

Sistemi di disequazioni

Quale dei seguenti sistemi ha come soluzione la regione colorata in figura?

A:

{\begin{cases} y \leq - \frac{1}{4} x - \frac{1}{2} \\ y \geq x + 2 \\ y \leq - x^{2} + 4 \end{cases}

B:

{\begin{cases} y \geq - \frac{1}{4} x - \frac{1}{2} \\ y \leq x + 2 \\ y \leq - x^{2} + 4 \end{cases}

C:

{\begin{cases} y \geq - \frac{1}{4} x - \frac{1}{2} \\ y \geq x + 2 \\ y \geq - x^{2} + 4 \end{cases}

D:

{\begin{cases} y \geq - \frac{1}{4} x - \frac{1}{2} \\ y \geq x \\ y \leq - x^{2} + 4 \end{cases}

Scelta multipla

Massimi e minimi vincolati

Considera la funzione

z = x^{2} + y^{2} + x

con il vincolo

x^{2} + y^{2} \leq 9

. Associa a ogni punto la sua caratteristica.

a.

A (- 3; 0)

________

b.

B (- \frac{1}{2}; 0)

________

a.

C (3; 0)

________

Posizionamento

Dominio di una funzione

Quale delle seguenti funzioni non ha dominio

R \times R

?

A:

z = x^{2} + y^{2} - 1

B:

z = \sqrt{x^{2} + y^{2} + 1}

C:

z = \frac{16}{\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}}

D:

z = \sqrt{\frac{16}{16 + x^{2} + y^{2}}}

Scelta multipla

Problema di minimo

Tra i punti

P

della retta

2 x - y + 5 = 0

, quale ha distanza minima dall'origine

O (0; 0)

?

Consideriamo un generico punto

P (x; y)

del piano e scriviamo la funzione distanza di

P

dall'origine

O (0; 0)

:

z = d (P; O) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

soggetta al vincolo

2 x - y + 5 = 0

.
Esplicitiamo la variabile ________ nel vincolo:

y = 2 x + 5

Sostituiamo il vincolo nella funzione distanza

z = \sqrt{x^{2} + (2 x + 5)^{2}} =

________.
La funzione

z = f (x)

è in una variabile quindi studiamo la sua derivata prima:

f^{'} (x) =

________.

f^{'} (x) > 0

se ________, da cui deduciamo che

f (x)

ha un ________ relativo in

x = - 2

.
Sostituiamo nel vincolo ottenendo

y = 2 \cdot (- 2) + 5 = 1

.
Dunque

P (- 2; 1)

è il punto della retta assegnata che ha minima distanza da

O (0; 0)

e tale distanza ha valore

z =

________.

Completamento chiuso

Punti stazionari

Quale delle seguenti funzioni non ha né massimi né minimi relativi, né punti di sella?

A:

z = 3 x^{2} + 2 y^{2} - 5

B:

z = 5 x y - 10

C:

z = 5 x + 10 y

D:

z = x^{2} y^{2} - x y

Scelta multipla

Massimi e minimi relativi

Determina gli eventuali punti di massimo o di minimo relativo e gli eventuali punti di sella della funzione $z = - 5 x^{2} - 5 y^{2} + 4 x + 1$ .

Risolviamo il sistema delle derivate parziali prime poste uguali a $0$ :
${\begin{cases} z_{x}^{'} = - 10 x + 4 = 0 \\ z_{y}^{'} = - 10 y = 0 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x =$ ________
	$y = 0$

Troviamo un solo punto stazionario $P (\frac{2}{5}; 0)$ .

Calcoliamo le derivate parziali seconde:
$z_{x x}^{″} = - 10$ ;
$z_{y x}^{″} = z_{x y}^{″} =$ ________;
$z_{y y}^{″} = - 10$ .

Otteniamo l'hessiano seguente:
$| H | = | \begin{matrix} - 10 & 0 \\ 0 & - 10 \end{matrix} | = 100 > 0$

Dal segno dell'hessiano deduciamo che $P$ è un punto di ________ relativo perché ________ ha valore negativo.

Completamento chiuso

Massimi e minimi vincolati

Considera la funzione

z = e^{- x^{2} - y}

e il vincolo

2 - 2 x - y = 0

. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?

A:

Le linee di livello sono parabole.

B:

Ha massimo vincolato uguale a

e^{- 1}

.

C:

Ha massimo vincolato in

(1; 0)

.

D:

Ha massimo libero in

(1; 0)

.

Scelta multipla