RosTc23 - Funzioni di due variabili

9 esercizi
SVOLGI
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Matematica

Sistemi di disequazioni
Quale dei seguenti sistemi ha come soluzione la regione colorata in figura?
A: {y14x12yx+2yx2+4
B: {y14x12yx+2yx2+4
C: {y14x12yx+2yx2+4
D: {y14x12yxyx2+4
Scelta multipla
1

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Matematica

Dominio di una funzione
Quale delle seguenti funzioni non ha dominio R×R?
A: z=x2+y21
B: z=x2+y2+1
C: z=161x2y2
D: z=1616+x2+y2
Scelta multipla
1

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Matematica

Piano tangente
Considera i punti O(0;0;0), P(1;1;6) e Q(1;1;0).
a. Quale tra le seguenti è l'equazione del piano passante per i punti O, P e Q?
b. Per quale delle seguenti funzioni tale piano è il piano tangente al suo grafico nel punto Q?

a.
________

b.
________
Completamento chiuso
1

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Matematica

Linee di livello
Nel grafico sono rappresentate alcune linee di livello di una funzione.
a. Qual è l'espressione della funzione?
b. Quale dei seguenti è il minimo relativo della funzione?

a.
________

b.
________
Completamento chiuso
1

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Matematica

Punti stazionari
Quale delle seguenti funzioni non ha né massimi né minimi relativi, né punti di sella?
A: z=3x2+2y25
B: z=5xy10
C: z=5x+10y
D: z=x2y2xy
Scelta multipla
1

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Matematica

Massimi e minimi relativi

Determina gli eventuali punti di massimo o di minimo relativo e gli eventuali punti di sella della funzione z=5x25y2+4x+1.


Risolviamo il sistema delle derivate parziali prime poste uguali a 0:
{zx=10x+4=0zy=10y=0

{...x=________
y=0

Troviamo un solo punto stazionario P(25;0).

Calcoliamo le derivate parziali seconde:
zxx=10;
zyx=zxy=________;
zyy=10.

Otteniamo l'hessiano seguente:
|H|=|100010|=100>0

Dal segno dell'hessiano deduciamo che P è un punto di ________ relativo perché ________ ha valore negativo.


Completamento chiuso
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Matematica

Problema di minimo
Tra i punti P della retta 2xy+5=0, quale ha distanza minima dall'origine O(0;0)?

Consideriamo un generico punto P(x;y) del piano e scriviamo la funzione distanza di P dall'origine O(0;0):
z=d(P;O)=x2+y2
soggetta al vincolo 2xy+5=0.
Esplicitiamo la variabile ________ nel vincolo:
y=2x+5
Sostituiamo il vincolo nella funzione distanza
z=x2+(2x+5)2=________.
La funzione z=f(x) è in una variabile quindi studiamo la sua derivata prima:
f(x)=________.
f(x)>0 se ________, da cui deduciamo che f(x) ha un ________ relativo in x=2.
Sostituiamo nel vincolo ottenendo y=2(2)+5=1.
Dunque P(2;1) è il punto della retta assegnata che ha minima distanza da O(0;0) e tale distanza ha valore
z=________.
Completamento chiuso
1

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Matematica

Massimi e minimi vincolati
Considera la funzione z=x2+y2+x con il vincolo x2+y29. Associa a ogni punto la sua caratteristica.

a.   A(3;0)
________

b.   B(12;0)
________

a.   C(3;0)
________
Posizionamento
1

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Matematica

Massimi e minimi vincolati
Considera la funzione z=ex2y e il vincolo 22xy=0. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
A: Le linee di livello sono parabole.
B: Ha massimo vincolato uguale a e1.
C: Ha massimo vincolato in (1;0).
D: Ha massimo libero in (1;0).
Scelta multipla
1

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