Rette perpendicolari e parallele #601831 - Prove ed esercizi Zanichelli

Considera due rette

r

e

s

tagliate da una trasversale

t

che formano angoli alterni esterni supplementari tra loro non congruenti. Che cosa è possibile dedurre?

A:

r

e

s

sono parallele.

B:

r

e

t

sono perpendicolari.

C:

r

e

s

sono incidenti.

D:

r

e

s

possono essere parallele o incidenti.

Scelta multipla

Nel triangolo

A B C

, isoscele sulla base

A B

, chiama

C H

l'altezza relativa alla base. L'asse del segmento

C H

interseca

C H

,

A C

e

B C

rispettivamente in

M

,

P

e

Q

. Da

Q

traccia la parallela a

C H

fino a incontrare

A B

in

E

. Dimostra che

M E

è parallelo a

B C

.

Ipotesi:

B C ≅ A C

;

C H ⊥ A B

;

Q P ⊥ A H

;

C M ≅ M H

;

Q E ∥ C H

.

Tesi:

M E ∥ B C

.

Dimostrazione
I triangoli

C Q M

e

M E H

sono congruenti perché sono triangoli rettangoli con due cateti uguali. Infatti,

C M ≅ M H

per ipotesi e

Q M ≅

________ perché lati opposti di un rettangolo.

Di conseguenza

M \hat{E} H ≅

________.

Inoltre,

C \hat{Q} M ≅

________ perché angoli corrispondenti considerando le rette parallele

P Q

e

A B

tagliate dalla trasversale

C B

.

Ne segue che

M \hat{E} H ≅ Q \hat{B} E

e quindi

M E ∥ B C

poiché hanno angoli ________ congruenti.

Completamento chiuso

Sapendo che le rette

r

e

s

sono parallele e

C D

è bisettrice dell'angolo

A \hat{C} B

, associa a ciascun angolo la propria misura.

D \hat{C} B

________

C \hat{B} D

________

A \hat{C} E

________

F \hat{A} C

________

Posizionamento

Determina l'ampiezza degli angoli

x

e

y

nella figura.

Si ha che

α - 12^{\circ} =

________,
da cui

α = 48^{\circ}

e

β = 36^{\circ}

.
Poiché

y

è il ________ di

β

, si ha che

y = 144^{\circ}

.
Per determinare l'ampiezza dell'angolo

x

, tracciamo il prolungamento della trasversale che forma l'angolo

α

con la retta

a

, come mostrato nella figura sotto.

Consideriamo il triangolo che si è venuto a formare: i suoi tre angoli misurano

x - 180^{\circ}

,

β

e

α

.
Poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è ________ si ha che

x - 180^{\circ} + β +

________

= 180^{\circ}

,
da cui

x = 276^{\circ}

.

Completamento chiuso

Vero o falso?

A: Se due rette formano con una trasversale angoli coniugati interni, allora non possono essere parallele.

B: Affinché due rette incidenti siano perpendicolari è sufficiente che formino un solo angolo retto.

C: Due rette parallele tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli alterni esterni supplementari.

D: Due rette perpendicolari a una stessa retta formano angoli corrispondenti supplementari.

Vero o falso

Nella figura

A E ≅ E D ≅ B C

,

A B ≅ E C

,

E B ≅ C D

.
Dimostra che

A B ∥ E C

,

B E ∥ C D

,

A D ∥ B C

.

Ipotesi:

A E ≅ E D ≅ B C

;

A B ≅ E C

;

E B ≅ C D

.

Tesi:

A B ∥ E C

;

B E ∥ C D

;

A D ∥ B C

.

Dimostrazione

I triangoli

A E B

e

E D C

sono congruenti per il ________ criterio di congruenza. Infatti, hanno

A E ≅ E D

,

E B ≅ C D

e

A B ≅ E C

per ipotesi.

Da questo segue in particolare che

B \hat{A} E ≅

________, dunque

A B ∥ E C

perché hanno angoli corrispondenti congruenti, considerando la trasversale ________.

Inoltre, segue che

B \hat{E} A ≅ C \hat{D} E

, dunque

B E ∥ C D

perché hanno angoli corrispondenti congruenti, considerando la trasversale

A D

.

I triangoli

A E B

e

B E C

sono congruenti per il terzo criterio di congruenza. Infatti, hanno il lato

E B

in comune,

A E ≅ B C

e

A B ≅ E C

per ipotesi.

Da questo segue in particolare che

A \hat{E} B ≅ C \hat{B} E

, dunque

A D ∥ B C

perché hanno angoli ________ congruenti, considerando la trasversale

B E

.

Completamento chiuso

Determina l'ampiezza degli angoli

x

e

y

nella figura.

Poiché ________ e

α

sono angoli ________, si ha

180^{\circ} - \frac{7}{2} α = α

, da cui

α = 40^{\circ}

.

x

è l'angolo supplementare a

\frac{7}{2} α

, per cui

x = 40^{\circ}

.

y

è l'angolo ________ a

x

, per cui

y = 50^{\circ}

.

Completamento chiuso