Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Coniche Sezioni coniche Equazione generale di una conica

Le coniche

13 esercizi

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Matematica

Equazione generale di una conica

Considera la generica equazione di secondo grado in

x

e in

y

A x^{2} + C y^{2} - D x - E y + F = 0

.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?

A: Se

A = C

oppure

A = - C

, l'equazione rappresenta una conica per qualsiasi valore dei coefficienti

D

E

F

B: Se

A

C

hanno segno opposto, l'equazione rappresenta un'iperbole per qualsiasi valore dei coefficienti

D

E

F

C: Se

A

è concorde con

C

, l'equazione rappresenta un'ellisse per qualsiasi valore dei coefficienti

D

E

F

D: L'equazione rappresenta una conica per qualsiasi valore dei coefficienti

A

B

C

D

E

F

E: L'equazione rappresenta una conica soltanto se

A = C

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Matematica

Equazione generale di una conica

Della curva rappresentata dall'equazione

5 x^{2} + 20 = - 3 y^{2} - 6 y - 8

possiamo dire che:

A: è una parabola con vertice nel punto

V (- 2; - 1)

e fuoco in

F (- 2; - 1 + \sqrt{2})

B: è un'iperbole con eccentricità

e = \sqrt{\frac{5}{2}}

e con i fuochi

F_{1} (- 2; - 1 - \sqrt{2}), F_{2} (- 2; - 1 + \sqrt{2})

C: un'ellisse con centro in

C (- 2; - 1)

e fuochi

F_{2} (- 2; - 1 - \sqrt{2}), F_{1} (- 2; - 1 + \sqrt{2})

D: è un'iperbole con i fuochi

F_{1} (- 2; - 1 - \sqrt{2}), F_{2} (- 2; - 1 + \sqrt{2})

e i vertici

V_{1} (- 2; - 1 - \sqrt{5}), V_{2} (- 2; - 1 + \sqrt{5})

E: non è una conica.

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Matematica

Luoghi geometrici

Quale dei seguenti luoghi geometrici rappresenta un arco di parabola?

P (k^{2}; \frac{1}{k})

{\begin{matrix} x = \frac{m - 2}{3} \\ y = \sqrt{m + 1} \end{matrix}

{\begin{matrix} x = t^{2} \\ y = 5 - t^{2} \end{matrix}

{\begin{matrix} x = \frac{t^{2} - 2}{t^{2}} \\ y = \frac{1}{t^{2} + 1} \end{matrix}

P (\sqrt{9 - t^{2}}; t - 3)

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Matematica

Coniche ed equazioni

L'equazione

\sqrt{x^{2} - 2 x + 5} + 1 - q = 0

q \in R

A: non ammette soluzioni per

1 \leq q \leq 3

B: ammette due soluzioni coincidenti per

q = - 1

e per

q = 3

C: ammette due soluzioni per

q \geq 1

D: non ammette soluzioni reali per alcun valore del parametro

q

E: ammette due soluzioni per

q \geq 3

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Matematica

Luoghi geometrici

Considera l'equazione:

k x^{2} + (1 - k) y^{2} + (k - 1) x + k y - 10 = 0

k \in R

.
Le affermazioni seguenti sono tutte vere tranne una. Quale?

A: L'equazione rappresenta una parabola per

k = 1

B: L'equazione rappresenta un'ellisse per

0 < k < 1

C: Non esistono punti comuni a tutte le coniche rappresentate dall'equazione data.

D: L'equazione rappresenta un'iperbole per

k < 0 \lor k > 1

E: Non esiste un valore di

k

a cui corrisponda un'iperbole equilatera.

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Matematica

Equazione generale di una conica

Una delle seguenti proposizioni è vera. Quale?

A: L'eccentricità è uguale al rapporto fra la semidistanza focale e il semiasse maggiore.

B: Esistono coniche con più di due assi di simmetria.

C: Tutte le coniche hanno centro.

D: Nessuna delle altre affermazioni è vera.

E: L'eccentricità di una conica è uguale al rapporto fra i semiassi.

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Matematica

Equazione generale di una conica

Della curva relativa all'equazione

(x - 2) (y + 2) = 0

possiamo dire che:

A: è un'iperbole e le direttrici sono le rette di equazioni

x = 2

y = - 2

B: rappresenta soltanto il punto

P (2; - 2)

C: è una conica degenere.

D: non rappresenta una conica.

E: è un'iperbole col centro nell'origine.

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Matematica

Equazione generale di una conica

Tutte le seguenti equazioni rappresentano una conica tranne una. Quale?

3 x y = 2 - 5 x - 3 y

x^{2} - y^{2} = x + y - 1

x^{2} + y^{2} - x + 4 y + 6 = 0

4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 \sqrt{2} + 6 y + 10 = 0

x^{2} - x y = 0

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Matematica

Disequazioni di secondo grado in due incognite

Quale dei seguenti sistemi rappresenta la regione colorata della figura?

{\begin{matrix} y > - x^{2} + 2 x \\ x^{2} + 4 y^{2} - 2 x - 3 < 0 \end{matrix}

{\begin{matrix} y < - x^{2} - 2 x \\ x^{2} < 4 y^{2} + 2 x + 3 \end{matrix}

{\begin{matrix} y + x^{2} - 2 x \leq 0 \\ 4 x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 \leq 0 \end{matrix}

{\begin{matrix} y + x^{2} \leq 2 x \\ x^{2} + 4 y^{2} - 2 x \leq 3 \end{matrix}

{\begin{matrix} y < - x^{2} + 2 x \\ x^{2} + 4 y^{2} < 2 x + 3 \end{matrix}

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Matematica

Luoghi geometrici

L'equazione

2 k x^{2} - (k + 2) y^{2} - 2 x + 1 = 0

rappresenta un'iperbole per:

\forall k \in R

- 2 < k < 0

k < - 2 \lor k > 0

k < - 2

k > 0

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Matematica

Luoghi geometrici

Al variare di

t \in R - {2}

il punto

P (\frac{4}{t - 2}; 2 t - 1)

descrive:

A: un'iperbole.

B: una parabola.

C: una retta.

D: una circonferenza.

E: un'ellisse.

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Matematica

Luoghi geometrici

Essendo

C

un punto del piano e

\bar{P D}

la distanza di

P

da una retta

r

, non passante per

C

, il luogo dei punti

P

del piano per i quali risulta

\bar{P C} - \sqrt{2} \bar{P D} = 0

è:

A: una circonferenza.

B: un'iperbole.

C: un'ellisse.

D: una parabola.

E: una retta.

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Matematica

Problemi geometrici senza parametri

La regione di piano individuata dal sistema

{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + 2 x \leq 0 \\ y > | x | \end{matrix}

ha area:

π + \frac{1}{2}

\frac{π - 2}{4}

\frac{3 π + 2}{4}

\frac{π + 2}{4}

π - \frac{1}{2}

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