Fondamentali alla prova - Una prova in più - L'equival. e le aree, i teor. di Euclide e di Pitagora #385544

Equivalenza di parallelogrammi

Dimostra che i tre parallelogrammi in figura sono equivalenti tra loro sapendo che tutti i lati del triangolo equilatero di contorno sono divisi in tre parti congruenti.

Disegniamo la figura indicando con lettere i vertici dei tre parallelogrammi.

Ipotesi

$A M ≅ M N ≅ N B$ ;

$B P ≅ P Q ≅ Q C$ ;

$A S ≅ S R ≅ R C$ .

Tesi

$A M O S ≐ P O N B ≐ C R O Q$ .

Consideriamo i parallelogrammi $A M O S$ e $P O N B$ :

le basi $A M$ e ________ sono congruenti per ipotesi;
le altezze sono ________ perché $S P ∥ A B$ ;

quindi per il teorema di ________ dei parallelogrammi $A M O S ≐ P O N B$ .

Osserviamo che anche $M Q ∥$ ________ quindi, analogamente, $A M O S ≐ C R O Q$ .

Infine, $A M O S ≐ P O N B ≐ C R O Q$ per la ________ dell'equivalenza.

Completamento chiuso

Equivalenza tra triangolo e parallelogramma

Dimostra che un parallelogramma è equivalente a otto volte il triangolo che ha per vertici un vertice del parallelogramma e i punti medi dei due lati a esso adiacenti.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.
Sia

M

il punto medio di

A B

e

N

il punto medio di

B C

.

Ipotesi

A M ≅ M B

;

B N ≅ N C

.
Tesi

A B C D ≐ 8 M B N

.

A B C D ≐

________ perché parallelogramma e triangolo hanno la stessa base e la stessa altezza.

A C B ≐

________ perché

A N B

ha stessa base ma metà altezza rispetto ad

A C B

.

A N B ≐ 2 M B N

perché

M B N

ha stessa altezza ma ________ base rispetto ad

A N B

.
Quindi

A B C D

≐

2

[

________

(2 M B N)

]

≐ 8 M B N

.

Completamento chiuso

Equivalenza di superfici e aree

Solo una fra le seguenti affermazioni è falsa.

Le due superfici in figura:

A: sono equiscomponibili

B: sono equivalenti

C: sono congruenti

D: hanno la stessa area

Scelta multipla

Teorema di Pitagora

Trova il lato obliquo di un trapezio rettangolo sapendo che la diagonale maggiore è lunga

12

cm, la base maggiore è i suoi

\frac{5}{6}

e quella minore

\frac{1}{3}

.

Disegniamo la figura.

Troviamo:

A B = \frac{5}{6} \cdot 12 = 10

cm;

C D = \frac{1}{3} \cdot 12 =

________ cm.
Troviamo

\bar{A D}

utilizzando il teorema di ________:

{\bar{A D}}^{2} = {\bar{B D}}^{2}

________

{\bar{A B}}^{2} =

144

________

100 = 44 \to

A D =

________ cm.
Inoltre, considerando la proiezione di

C

su

A B

formiamo un altro triangolo rettangolo con ipotenusa

B C

.
I suoi cateti misurano ________ cm e ________ cm.
Possiamo quindi utilizzare il teorema di Pitagora:

{\bar{B C}}^{2} =

44

________

36 = 80 \to

B C =

________ cm.

Completamento chiuso

Equivalenza tra triangolo e trapezio

Nel trapezio

A B C D

la base minore

C D

è

\frac{1}{3}

della base maggiore

A B

. Dimostra che il trapezio è equivalente al quadruplo del triangolo

B C D

.
Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

C D ≅ \frac{1}{3} A B

.
Tesi

A B C D ≐ 4 B C D

.
Dai dati del problema, possiamo scrivere:

A B + C D ≅

________

+ C D ≅

________.
Quindi

A B C D

è equivalente al triangolo con base ________ e stessa altezza per il teorema di equivalenza tra trapezio e triangolo.
Inoltre,

B C D

ha base

C D

e ________ altezza del trapezio quindi è equivalente a ________ del triangolo a cui il trapezio è equivalente.
Possiamo quindi concludere che

A B C D ≐

________

B C D

per la transitività dell'equivalenza.

Completamento chiuso

Aree di poligoni

Dato il trapezio

A B C D

con altezza

6

cm e base maggiore

A B

che supera quella minore

C D

di

7

cm, costruisci il parallelogramma

C E B D

con

E

il punto di intersezione tra

A B

e la parallela al lato

A D

passante per

C

.
Trova la lunghezza della base minore

C D

sapendo che il trapezio è equivalente ai

\frac{3}{2}

del parallelogramma.

Disegniamo la figura.

\bar{A B} + \bar{C D} =

\bar{C D} + \bar{C D} =

2 \bar{C D}

________

7

.
Troviamo l'area del trapezio usando la variabile

C D

:

A_{A B C D} =

________

=

\frac{(2 \bar{C D} + 7) \cdot 6}{2} =

6 \bar{C D}

________

21

.

\bar{E B} = \bar{A B}

________

\bar{C D} =

\bar{C D} + 7

________

\bar{C D} =

7 \to E B = 7

cm.

Troviamo l'area del parallelogramma:

A_{E B F C} = \bar{E B} \cdot \bar{C H} = 7 \cdot 6 = 42

cm².
Quindi

6 \bar{C D}

________

21 = \frac{3}{2} \cdot 42

\to

6 \bar{C D} = 42 \to C D = 7

cm.

Completamento chiuso

Equivalenza fra un poligono circoscritto e un triangolo

Considera la figura dove

r ∥ s

. indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

A B C D E F G H ≐ K L M

B:

\frac{1}{2} A B C D E F G H ≐ K L N

C:

A B C D E F G H ≐ \frac{1}{2} K L M N

D:

A B C D E F G H ≐ 2 L M N

Vero o falso

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa è lunga

9

cm e il cateto maggiore è

\frac{4}{3}

della sua proiezione. Trova la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa.

Disegniamo la figura.

Troviamo

B C = \frac{4}{3} \cdot 9

cm

=

________ cm.

\bar{C K} : \bar{B C} =

________:________ per il primo teorema di Euclide.
Troviamo quindi

\bar{A C}

:

9 :

________

=

________ :

\bar{A C}

\to

A C =

________

=

16

cm.
Infine

\bar{C K} = \bar{A C}

________

\bar{C K}

=

16

________

9 =

________

\to C K = 7

cm.

Completamento chiuso

Applicazioni del teorema di Pitagora

Considera la figura dove

ℓ

è la lunghezza del lato del quadrato

A B C E

. Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

\bar{A C} = 2 ℓ

B:

\bar{B E} = \sqrt{2} ℓ

C:

\bar{D E} = \frac{\sqrt{3}}{2} ℓ

D:

\bar{C D} = \sqrt{3} ℓ

Vero o falso

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo, sia

P

la proiezione del vertice

A

sull'ipotenusa

B C

. Trova

B P

sapendo che

A P

è lungo

8

cm e

C P

è

\frac{1}{5}

dell'ipotenusa.

Disegniamo la figura.

Troviamo il rapporto tra

B P

e

C P

.
Per ipotesi

C P ≅ \frac{1}{5} B C

e

B P

≅

________

B C

quindi

B P ≅

________.
Per il secondo teorema di Euclide

\bar{B P} :

________

=

\bar{A P} : \bar{C P}

, cioè:
________

: 8 = 8 : \bar{C P} \to

________

{\bar{C P}}^{2} = 64 \to C P = 4

cm.
Quindi

\bar{B P} =

________ cm.

Completamento chiuso