Fondamentali alla prova - Una prova in più - I triangoli #283041

Prime definizioni sui triangoli

Associa a ogni termine il corretto elemento in simboli.

a. Angolo compreso tra

A B

e

B C

________
b. Angolo esterno di vertice

C

________
c. Lato opposto a

γ

________
d. Lato adiacente a

α

e

γ

________
e. Angolo opposto a

B C

________
f. Angolo interno di vertice

C

________

Posizionamento

Primo criterio di congruenza

Osserva la figura e dimostra che i triangoli

A E C

e

B D E

sono congruenti e che

E \hat{C} B ≅ E \hat{D} A

.

Ipotesi
•

E C ≅ E D

;
•

A E ≅

________.

Tesi
•

A E C ≅ D E B

;
•

E \hat{C} B ≅ E \hat{D} A

.

Consideriamo i triangoli

A E C

e

D E B

. Essi hanno:

A E ≅ E B

per ipotesi;

E C ≅ E D

per ipotesi;

A \hat{E} C ≅ B \hat{E} D

perché ________.
Quindi, i due triangoli sono congruenti per il primo criterio.

Consideriamo i triangoli

A E D

e

E C B

. Essi hanno:

A E ≅

________ per ipotesi;

E C ≅ D E

per ipotesi;

A \hat{E} D ≅ B \hat{E} D

perché ________.
Quindi, i triangoli

A E D

e

B E C

sono congruenti per il primo criterio. In particolare, gli angoli

E \hat{D} A

e

E \hat{C} B

sono congruenti perché opposti ai lati congruenti

A E

e ________.

Completamento chiuso

Secondo criterio di congruenza

I lati di due angoli

a \hat{O} b

e

c \hat{O^{'}} d

si intersecano in due punti

B

e

C

. Dimostra che se

O O^{'}

è bisettrice di

B \hat{O} C

e di

B \hat{O^{'}} C

, allora

O \hat{B} O^{'} ≅ O \hat{C} O^{'}

.

Ipotesi
•

C \hat{O} O^{'} ≅ B \hat{O} O^{'}

;
•

C \hat{O^{'}} O ≅

________.
Tesi
•

O \hat{B} O^{'} ≅ O \hat{C} O^{'}

.

Consideriamo i triangoli

C O^{'} O

e

B O^{'} O

. Essi hanno:

O O^{'}

in comune;

C \hat{O} O^{'} ≅ O^{'} \hat{O} B

per ipotesi;
________

≅ B \hat{O^{'}} O

per ipotesi.

Quindi i due triangoli sono congruenti per il secondo criterio. In particolare gli angoli

O^{'} \hat{B} O

e ________ sono congruenti perché opposti a lati congruenti di triangoli congruenti.

Completamento chiuso

Classificazione dei triangoli rispetto ai lati

A:

Tutti i triangoli equilateri sono isosceli.

B:

Esistono triangoli isosceli che sono equilateri.

C:

Se un triangolo è isoscele su due basi diverse, allora è equilatero.

D:

Esistono triangoli scaleni che sono anche isosceli.

Vero o falso

Teorema del triangolo isoscele

In un triangolo

A B C

isoscele su base

A B

siano

D

e

E

due punti di

A B

tali che

A D ≅ E B

. Dimostra che il triangolo

C D E

è isoscele.

Ipotesi
•

A B C

triangolo isoscele;
•

A D ≅ E B

.
Tesi
•

C D E

triangolo isoscele.

Consideriamo i triangoli

A D C

e

E B C

. Essi hanno:
________

≅ B C

per ipotesi;

A D ≅ E B

per ipotesi;

C \hat{A} B ≅

________ per il teorema del triangolo isoscele.

Quindi i triangoli

A D C

e

E B C

sono congruenti per il ________ criterio di congruenza. In particolare

D C ≅ C E

perché lati opposti alla coppia di angoli congruenti

C \hat{A} B

e

A \hat{B} C

.
Abbiamo dimostrato che il triangolo

D E C

è ________.

Completamento chiuso

Bisettrici, mediane e altezze

In un triangolo

A B C

:

A:

la mediana relativa ad

A B

divide l'angolo

\hat{C}

in due parti congruenti;

B:

l'altezza relativa a

B C

forma con

B C

due angoli retti;

C:

tutte le mediane sono interne al triangolo;

D:

la bisettrice dell'angolo

\hat{B}

potrebbe essere esterna al triangolo.

Vero o falso

Bisettrice nel triangolo isoscele

In un triangolo

A B C

isoscele su base

A B

:

A:

la bisettrice dell'angolo

\hat{C}

divide

A B

in due segmenti congruenti;

B:

la bisettrice dell'angolo

\hat{A}

forma con

B C

due angoli retti;

C:

tutte le bisettrici sono anche mediane dei relativi lati;

D:

la bisettrice dell'angolo

\hat{C}

, incontrando

A B

in

D

, forma due angoli congruenti.

Vero o falso

Triangoli equilateri

In figura,

A B C

è un triangolo isoscele sulla base

A B

. Dal punto medio di

B C

è tracciata una retta

r

che forma con

B C

due angoli retti. Dimostra che se

r

passa per il vertice

A

, allora

A B C

è equilatero.

Ipotesi
•

B C ≅ A C

;
•

B M ≅

________;
•

A \hat{M} B

e

A \hat{M} C

angoli ________.
Tesi
•

A B C

è equilatero.

Consideriamo i triangoli

A B M

e

A M C

. Essi hanno:

A M

________;

B M ≅ C M

per ipotesi;

A \hat{M} C ≅ A \hat{M} B

perché angoli retti.

Quindi i triangoli

A M C

e

A B M

sono congruenti per il ________ criterio di congruenza. In particolare

A B ≅ A C

perché lati opposti alla coppia di angoli congruenti

A \hat{M} C

e ________.
Per ipotesi sappiamo che

A C ≅ B C

e per la dimostrazione precedente abbiamo che

A B ≅ A C

. Per la proprietà transitiva della congruenza,

B C ≅ A C ≅ A B

, quindi

A B C

è ________.

Completamento chiuso

Terzo criterio di congruenza

Dimostra che due triangoli isosceli sono congruenti quando hanno ordinatamente congruenti un lato obliquo e la mediana relativa all'altro lato obliquo.

Ipotesi
•

A B ≅ B C

e

D E ≅ E F

;
•

A B ≅ D E

;
•

B M ≅ M C

e

N F ≅

________;
•

A M ≅ D N

.
Tesi
•

A B C

è congruente a

D E F

.

Poiché, per ipotesi,

A B ≅ B C

,

D E ≅

________ e

A B ≅ D E

, per la proprietà transitiva della congruenza otteniamo:

A B ≅ B C ≅ D E ≅ E F

Consideriamo i triangoli

A B M

e

D E N

. Essi hanno:

A M ≅ D N

per ipotesi;

A B ≅ D E

per ipotesi;
________

≅ N E

perché metà di lati congruenti.

Quindi i triangoli

A B M

e

D E N

sono congruenti per il ________ criterio. Gli angoli

A \hat{B} M

e ________ sono congruenti in quanto opposti ai lati congruenti

A M

e

D N

.

Consideriamo i triangoli

A B C

e

D E F

. Essi hanno:

A B ≅ D E

per ipotesi;

B C ≅ E F

per la dimostrazione precedente;

A \hat{B} C ≅

________ per la dimostrazione precedente.

Quindi i triangoli

A B C

e

D E F

sono congruenti per il ________ criterio di congruenza.

Completamento chiuso

Relazioni fra angoli di un triangolo

In un triangolo gli angoli

α

,

β

e

γ

sono opposti, rispettivamente, ai lati che misurano

a

,

b

e

c

. Sai che

c

supera di

3

il doppio di

b

, mentre il triplo di

a

diminuito di

2

è pari al doppio di

c

. Quale dei seguenti ordinamenti è corretto?

A:

γ > β > α

B:

γ > α > β

C:

α > γ > β

D:

α > β > γ

Scelta multipla

Teorema dell'angolo esterno

A:

Un triangolo isoscele non può avere angoli retti.

B:

Un triangolo con un angolo ottuso può essere solo isoscele.

C:

Se un angolo esterno di un triangolo è acuto, allora gli altri due sono ottusi.

D:

Un triangolo può avere tre angoli esterni ottusi.

Vero o falso

Relazione fra i lati di un triangolo

Stabilisci se le seguenti terne di numeri sono ammissibili come misure dei lati di un triangolo.

A:

6

,

8

,

13

;

B:

12

,

45

,

56

;

C:

5

,

12

,

26

;

D:

7

,

13

,

20

.

Vero o falso