Fondamentali alla prova - Una prova in più - Disequazioni #484298

Interpretazione grafica di una disequazione di secondo grado

Interpreta graficamente la seguente disequazione.

9 x^{2} + 1 > 6 x

9 x^{2} + 1 > 6 x

\to

9 x^{2}

________

6 x + 1 > 0

Associamo alla disequazione la parabola di equazione ________ e cerchiamo i punti della parabola con ordinata ________.
La parabola ha la concavità rivolta verso ________ e interseca l'asse

x

nel punto di ascissa:

9 x^{2} - 6 x + 1 = 0 \to

________.

La rappresentazione grafica della disequazione è quella in figura ________.
Deduciamo che l'insieme delle soluzioni è ________.

Completamento chiuso

Studio del segno di un trinomio di secondo grado

Solo una delle seguenti affermazioni è vera. Quale?

A:

x^{2} - 6 x + 9

è positivo

\forall x \in R

.

B:

- 8 x^{2} + 2 x + 3

è positivo per valori interni all'intervallo delle radici.

C:

3 x^{2} - 4 \sqrt{3} x + 4

non si annulla mai.

D:

- 2 x^{2} + x - 1

è positivo per

- \frac{1}{2} < x < 1

.

Scelta multipla

Risoluzione algebrica di una disequazione di secondo grado

Risolvi la disequazione

3 x (x + \frac{3}{2}) \leq \frac{15}{2}

e senza eseguire ulteriori calcoli scrivi l'intervallo delle soluzioni delle seguenti disequazioni:
a.

2 x^{2} + 3 x > 5

b.

- 4 x^{2} - 6 x + 10 \leq 0

.

Scriviamo la disequazione in forma normale

3 x^{2} + \frac{9}{2} x - \frac{15}{2}

________

0

\to

________
Risolviamo l'equazione associata ________

Δ =

________

> 0 \to

x_{1, 2} =

________

=

x_{1} =

________,

x_{2} =

________.
La disequazione richiede che il trinomio

2 x^{2} + 3 x - 5

sia ________ con il coefficiente di

x^{2}

quindi l'intervallo della soluzione è
________.

Per trovare le soluzioni delle altre due disequazioni date, osserviamo che abbiamo già trovato le radici del trinomio

2 x^{2} + 3 x - 5

.
Riscriviamo quindi:
a.

2 x^{2} + 3 x > 5 \to

2 x^{2} + 3 x - 5

________

0

: la disequazione richiede che il trinomio sia ________ con il coefficiente di

x^{2}

quindi l'intervallo delle soluzioni è
________.
b.

- 4 x^{2} - 6 x + 10 \leq 0 \to

2 (2 x^{2} + 3 x - 5) \geq 0 \to

________:
la disequazione richiede che il trinomio sia ________ con il coefficiente di

x^{2}

quindi l'intervallo delle soluzioni è
________.

Completamento chiuso

Disequazioni fratte

Risolvi la seguente disequazione.

\frac{x^{2} + 3 x + 17}{x^{2} - 4} < - 2

La disequazione è equivalente a

\frac{x^{2} + x + 3}{x^{2} - 4}

________

0

.
Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.

N > 0

:

x^{2} + x + 3 > 0

\to

________

D > 0

:

x^{2} - 4 > 0

\to

________
La rappresentazione grafica dello studio dei segni è quella in figura ________.

Quindi le soluzioni della disequazione sono ________.

Completamento chiuso

Disequazione intera di grado superiore al secondo

Risolvi la seguente disequazione.

6 x^{3} - 25 x^{2} + 21 x + 10 < 0

Scomponiamo in fattori di primo o secondo grado il polinomio a primo membro con la regola di Ruffini.
Uno zero del polinomio è ________, da cui

6 x^{3} - 25 x^{2} + 21 x + 10 =

(x

________

2) (6 x^{2} - 13 x - 5) .

Studiamo quindi il segno di ciascun fattore:

F_{1} > 0 \to x - 2 > 0 \to

________

F_{2} > 0 \to 6 x^{2} - 13 x - 5 > 0

.
L'equazione associata è

6 x^{2} - 13 x - 5 = 0

:

Δ = 17 \to

x_{1} =

________,

x_{2} =

________.

F_{2}

è positivo per ________.
La rappresentazione grafica dello studio del segno della disequazione è quella in figura ________.

La disequazione

6 x^{3} - 25 x^{2} + 21 x + 10 < 0

è quindi verificata per
________.

Completamento chiuso

Disequazioni fratte

Risolvi la seguente disequazione.

\frac{2 + x - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 10} \geq 0

La disequazione è equivalente a

\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - 7 x + 10}

________

0

.
Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.

N > 0

:

x^{2} - x - 2 > 0

.
L'equazione associata è

x^{2} - x - 2 = 0

:

Δ = 9 \to

x_{1} =

________,

x_{2} =

________.

N

è positivo per ________

D > 0

:

x^{2} - 7 x + 10 > 0

.
L'equazione associata è

x^{2} - 7 x + 10 = 0

:

Δ = 9 \to

x_{1} =

________,

x_{2} =

________

D

è positivo per ________.
La rappresentazione grafica dello studio del segno è quella in figura ________.

Quindi le soluzioni della disequazione sono
________.

Completamento chiuso

Disequazione intera di grado superiore al secondo

Risolvi la seguente disequazione.

x^{5} - 2 x^{4} - 3 x^{3} \geq 0

Raccogliamo a fattor comune:

x^{5} - 2 x^{4} - 3 x^{3} =

________.
Studiamo il segno di ciascun fattore:

F_{1} > 0 \to x^{3} > 0 \to

________;

F_{2} > 0 \to x^{2} - 2 x - 3 > 0

.
L'equazione associata è

x^{2} - 2 x - 3 = 0

:

Δ = 4 \to

x_{1} =

________,

x_{2} =

________.

F_{2}

è positivo ________.
La rappresentazione grafica dello studio del segno della disequazione è quella in figura ________.

La disequazione

x^{5} - 2 x^{4} - 3 x^{3} \geq 0

è quindi verificata per ________.

Completamento chiuso

Interpretazione grafica di una disequazione di secondo grado

Interpreta graficamente la seguente disequazione.

- 10 x^{2} + 43 x - 28 \leq 0

Associamo alla disequazione la parabola di equazione

y = - 10 x^{2} + 43 x - 28

e cerchiamo i punti della parabola con ordinata ________ o nulla.
La parabola ha la concavità rivolta verso ________ e interseca l'asse

x

nei punti di ascisse:

- 10 x^{2} + 43 x - 28 = 0 \to

________.

La rappresentazione grafica della disequazione è quella in figura ________.
Deduciamo che l'intervallo delle soluzioni è ________.

Completamento chiuso

Sistema di disequazioni

Associa a ciascun sistema le sue soluzioni.

1.

{\begin{cases} x^{2} - 6 x + 9 > 0 \\ \frac{1}{x^{2} + 3 x + 3} > 0 \end{cases}

________

2.

{\begin{cases} \frac{x^{2}}{x^{2} - 3 x} \leq 0 \\ \frac{1}{x^{2} - 6 x + 9} > 0 \end{cases}

________

3.

{\begin{cases} \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} + 3 x + 3} > 0 \\ x^{2} - 5 x + 6 \geq 0 \end{cases}

________

4.

{\begin{cases} \frac{1}{x^{2} - 5 x + 6} > 0 \\ 3 x + x^{2} < - 3 \end{cases}

________

Posizionamento

Equazioni irrazionali con radicali di indice dispari

Risolvi la seguente equazione.

\sqrt[3]{- 3 - x^{3} + 2 x^{2} - x} + x = 0

Risolviamo l'equazione irrazionale:

- 3 - x^{3} + 2 x^{2} - x =

________

x^{3} \to

________

= 0 \to

x = - 1, x = \frac{3}{2}

.

Completamento chiuso

Equazioni con valori assoluti

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

| x^{2} | - | x + 1 | = | x^{2} - x + 1 |, \forall x \in R

.

B:

| x^{2} | \cdot | \frac{1}{3 x} | = | \frac{x}{3} |, \forall x \in R

.

C:

| 8 - 2 x | = 0 \to x = \pm 4

.

D:

| x + 2 | = | - x - 2 |, \forall x \in R

.

Vero o falso

Equazione parametrica

Per quali valori del parametro

k \in R

l'equazione

- k^{2} x = 3 k - x

nell'incognita

x

ha una soluzione positiva?

A:

0 < k < 1

B:

k < 0 \lor k > 1

C:

0 \leq k \leq 1

D:

k \leq 0 \lor k \geq 1

Scelta multipla

Risolvere un problema

Al bar Giacinto decidono di promuovere delle bottiglie di champagne di lusso. In funzione del numero di bottiglie vendute,

x

, il ricavo è dato dalla funzione

R (x) = 50 x - 5

. Il costo di trasporto e produzione delle bottiglie invece è dato dalla funzione

C (x) = x^{2} + 21 x

con in aggiunta un costo fisso di €

95

per la creazione dello stand promozionale. Per quante bottiglie vendute il bar avrà un guadagno positivo?

Impostiamo la disequazione risolvente il sistema:
________

\to

- x^{2} + 29 x - 100 > 0 \to

x^{2} - 29 x + 100 < 0

.
Alla disequazione è associata l'equazione ________ le cui
soluzioni sono ________.
La disequazione ha quindi soluzioni ________.
Per avere un guadagno positivo il bar deve vendere tra le ________ bottiglie.

Completamento chiuso

Equazioni irrazionali con radicali di indice pari

Risolvi la seguente equazione.

$\sqrt{4 x - 7} - 3 = - 2 x$

L'equazione irrazionale equivale al sistema:

${\begin{cases} \end{cases}$	________	.
	$4 x - 7 = 4 x^{2} - 12 x + 9$ .

Risolviamolo:

${\begin{cases} \end{cases}$	________	$\to x = 2$ .
	$4 x^{2} - 16 x + 16 = 0$ .

La soluzione ________ accettabile quindi l'equazione è ________.

Completamento chiuso