Fondamentali alla prova - Trasformazioni geometriche

Data la trasformazione geometrica di equazioni $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x-y\\ y^{\prime }=2y+1\end{array}$, trova:

a.   il trasformato $P^{\prime }$ di ${\displaystyle P(-1;\frac{1}{2})}$;

b.   i punti uniti;

c.   l'immagine della retta di equazione $4y-x=1$.

a.   Sostituiamo le coordinate di ${\displaystyle P(-1;\frac{1}{2})}$ nelle equazioni della trasformazione:

b. Un punto unito è tale che $x^{\prime }=$________ e $y^{\prime }=$________, quindi

$\{\begin{array}{l}x=x-y\\ y=2y+1\end{array}\to \{\begin{array}{l}y=0\\ y=-1\end{array}.$

Non esiste un valore di $y$ che soddisfi entrambe le equazioni contemporaneamente. Quindi la trasformazione non ha punti uniti.

c.   Ricaviamo $x$ e $y$ dalle equazioni della trasformazione:

$\{\begin{array}{l}x=x^{\prime }+y\\ {\displaystyle y=\frac{y^{\prime }-1}{2}}\end{array}\to \{\begin{array}{l}{\displaystyle x=x^{\prime }+\frac{y^{\prime }-1}{2}}\\ {\displaystyle y=\frac{y^{\prime }-1}{2}}\end{array}.$

Sostituiamo nell'equazione della retta, eliminiamo gli apici e semplifichiamo.

$4($________$)-$$($________$)$$=1\to$

$2x-3y+5=0$

Determina la traslazione che si ottiene componendo quella di vettore $\overrightarrow{v}(2;-5)$ con quella di vettore $\overrightarrow{w}(-3;4)$ e scrivine le equazioni. Trova poi l'equazione della retta $r^{″}$ corrispondente della retta di equazione $x-y+7=0$ nella traslazione composta. Che cosa osservi?

Le equazioni di una generica traslazione sono

Il vettore della traslazione composta è dato da ________$=$$(-1;-1)$.

Scriviamo le equazioni corrispondenti:

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x-1\\ y^{\prime }=y-1\end{array}$.

Isoliamo $x$ e $y$ e sostituiamoli nell'equazione della retta per trovare l'equazione della sua trasformata $r^{″}$:

$\{\begin{array}{l}x=x^{\prime }+1\\ y=y^{\prime }+1\end{array}$,

quindi

$r^{″}$: $x^{\prime }+1-$________$+7=0$.

Eliminiamo gli apici e semplifichiamo.

$x+1-y-1+7=0\to x-y+7=0$

L'equazione coincide con quella di partenza, pertanto si tratta di una retta unita. Il vettore della traslazione $(-1;-1)$ è infatti ________ alla retta.

Studia le isometrie

$t_1$: $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=-y\\ y^{\prime }=x+4\end{array}$ e $t_2$: $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=2-x\\ y^{\prime }=-y\end{array}$.

Determina e studia la trasformazione $t=t_1\circ t_2$ individuando gli elementi uniti. Trova il corrispondente del triangolo di vertici $A(-1;0)$, $B(1;-1)$ e $C(2;2)$ nella trasformazione $t$.

Calcoliamo il determinante di ciascuna isometria:

$t_1$: $\left|\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right|$$=$$0+1=1$;

$t_2$: ________$=1$.

Le due isometrie potrebbero quindi essere una traslazione, rotazione, simmetria centrale, o una loro composizione.

Scriviamo le equazioni della trasformazione $t=t_1\circ t_2$, applicando prima $t_2$ poi $t_1$:

$t$: ________.

Il determinante di $t$ è $\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right|=1$.

Individuiamo eventuali elementi uniti.

Punti uniti.

Poniamo $x^{\prime }=x$ e $y^{\prime }=y$.

$\{\begin{array}{l}x=y\\ y=6-x\end{array}\to (3;3)$

Retta unita del tipo $y=mx+q$.

Trasformiamo la retta $y=mx+q$, ricavando $x$ e $y$ dalle equazioni di $t$ e sostituendo nell'equazione della retta:

$x^{\prime }=m(6-y^{\prime })+q\to$

${\displaystyle y=-\frac{1}{m}x+\frac{q}{m}+6}$.

Affinché la retta sia unita deve essere soddisfatta la condizione:

$\{\begin{array}{l}{m}^2=-1\\ {\displaystyle q=\frac{q}{m}+6}\end{array}\to$ impossibile.

Pertanto non esistono rette unite del tipo $y=mx+q$.

Trasformiamo una generica retta di equazione $x=h$: $6-y^{\prime }=h\to y^{\prime }=6-h$. Non può quindi esistere una retta unita del tipo $x=h$.

Osservando le equazioni di $t$, tenuto conto del punto unito $C(3;3)$, possiamo concludere che si tratta di una rotazione di centro $C(3;3)$ e angolo $\alpha =$________.

Ricaviamo i punti corrispondenti dei vertici del triangolo sostituento le coordinate nelle equazioni di $t$:

$A(-1;0)\to A^{\prime }$________;
$B(1;-1)\to B^{\prime }(-1;5)$;
$C(2;2)\to C^{\prime }(2;4)$.