Fondamentali alla prova - Perpendicolari e parallele, parallelogrammi e trapezi #618274

Congruenza di triangoli rettangoli

Per poter affermare che due triangoli rettangoli sono congruenti è sufficiente verificare che hanno ordinatamente congruenti:

A: due angoli acuti.

B: l'ipotenusa.

C: l'ipotenusa e un cateto.

D: un cateto e un angolo acuto.

Vero o falso

Criterio di parallelismo

Due segmenti

A B

e

C D

si intersecano nel loro punto medio. Dimostra che

A C ∥ D B

e che

C B ∥ A D

.

Chiamiamo

M

il punto medio di

A B

e

A D

.

Ipotesi:
•

A M ≅ M B

;
•

C M ≅ M D

.

Tesi:
•

A C ∥ D B

;
•

C B ∥ A D

.

Dimostrazione
Gli angoli

A \hat{M} C

e ________ sono congruenti,
in quanto opposti al vertice. Anche gli angoli

C \hat{M} B

e ________ sono congruenti perché opposti al vertice.
Per cui si ha

A M C ≅ B M D

e

A M D ≅ C M B

per il

1^{\circ}

criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare

A \hat{C} M ≅ B \hat{D} M

, perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti. Quindi

A C

e

D B

sono tagliati dalla trasversale

C D

e formano angoli alterni ________ congruenti, pertanto,

A C ∥ D B

per il criterio di parallelismo. Analogamente, possiamo affermare che

B \hat{C} M ≅ A \hat{D} M

. Quindi sempre per il criterio di parallelismo

C B ∥ A D

in quanto vengono tagliati dalla trasversale ________ formando angoli alterni interni congruenti.

Completamento chiuso

Dimostrazione sulle rette perpendicolari

Considera l'angolo

P \hat{O} Q

con

P O ≅ O Q

.

a. Dimostra che la bisettrice

s

di

P \hat{O} Q

è asse di

P Q

.

Dimostrazione. Disegnamo il segmanto

P Q

e indichiamo con

T

il punto in cui questo incontra la bisettrice

s

. Nei triangoli

O P T

e

O Q T

abbiamo i lati

P O

e

O Q

congruenti per ________ , il lato ________ in comune, e gli angoli

P \hat{O} T

e

Q \hat{O} T

congruenti perché

s

________. Quindi i triangoli

O P T

e

O Q T

sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli. Questo prova che i lati

P T

e

T Q

sono congruenti, quindi

s

è asse del segmento ________.

b. Preso

R

su

s

tale che

O Q ≅ Q R

, dimostra che il quadrilatero

O P R Q

ha tutti i lati congruenti.

Dimostrazione. Poiché

s

è asse del segmento

P Q

, questi due sono perpendicolari tra loro. Nei triangoli

P O R

e

Q O R

abbiamo i lati

P O

e

O Q

congruenti per ________ e il lato ________ in comune, quindi i triangoli sono congruenti per i criteri di congruenza ________. Questo prova che i lati

P R

e

R Q

sono congruenti, quindi tutti e quattro i lati del quadrilatero

O P R Q

sono congruenti.

Completamento chiuso

Rombo

Considera il triangolo equilatero

A B C

di perimetro

24

cm e la bisettrice

B D

dell'angolo in

B

. Conduci da

D

le parallele ai lati

C B

e

A B

che incontrano i lati stessi in

E

e

F

. Quanto vale il perimetro del rombo

D E B F

?

A:

12

cm

B:

10

cm

C:

8

cm

D:

16

cm

Scelta multipla

Inverso del criterio di parallelismo

Dato il triangolo isoscele

A B C

di base

A B

traccia l'altezza

C H

e dal punto

H

manda la parallela al lato

B C

che interseca il lato

A C

nel punto

P

. Dimostra che il triangolo

A H P

è isoscele.

Ipotesi:
•

A B C

triangolo isoscele;
•

C H

altezza del triangolo

A B C

;
•

H P ∥ B C

.

Tesi:

A H P

è un triangolo isoscele.

Dimostrazione
Per ipotesi,

A B C

è isoscele, quindi avrà angoli alla base congruenti:

A \hat{B} C ≅ B \hat{A} C

.
Consideriamo

H P ∥ B C

per ipotesi, tagliati dalla trasversale

A B

.
Per l'inverso del criterio di parallelismo,

A \hat{H} P ≅ A \hat{B} C

in quanto angoli ________.
Di conseguenza,

B \hat{A} C ≅

________ e

A H P

è isoscele in quanto ha angoli alla base congruenti.

Completamento chiuso

Parallelogramma

Nel parallelogramma

A B C D

, l'angolo

\hat{A}

è inferiore di

40^{\circ}

rispetto all'angolo

\hat{D}

.
Calcola le ampiezze degli angoli del parallelogramma.

Poiché

A B C D

è un parallelogramma,

\hat{A} ≅

________ e

\hat{B} ≅

________.
Per ipotesi,

\hat{A} = \hat{D} - 40^{\circ}

.
Inoltre, deve essere

\hat{A} + \hat{D} =

________

\to

________

=

________

\to \hat{D} =

________.
Pertanto,

\hat{A} =

________.

Completamento chiuso

Rettangolo

Dal centro del rettangolo

A B C D

traccia la bisettrice di due angoli opposti al vertice formati dalle diagonali. Dimostra che tale retta divide il rettangolo in due rettangoli tra loro congruenti.

Dimostrazione. Disegnamo il rettaangolo

A B C D

e indichiamo con

O

il punto di incontro delle sue diagonali. Chiamiamo

r

la retta bisettrice dell'angolo

B \hat{O} C

, indichiamo con

P

il suo punto di incontro col lato

B C

e con

T

il suo punto di incontro col lato

A D

.
Ora consideriamo i triangoli

B O P

e

P O C

. I lati

B O

e

O C

sono congruenti poiché in un rettangolo le diagonali [le diagonali si incontrano nel loro punto medio, le diagonali sono sempre lunghe meta del lato maggiore, le diagonali sono sempre lunghe il doppio del lato minore], il lato

O P

è ________, e gli angoli tra essi congruenti perché ________. Dunque i triangoli

B O P

e

P O C

sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
A causa della congruenza dimostrata, abbiamo che

B P

è congruente a ________, quindi

B P

è lungo ________

B C

. A questo punto ci basta notare che il rettangolo

A B C D

è diviso in due rettangoli

A B P T

e

P C D T

, che hanno area esattamente ________

A B C D

, il che dimostra la tesi.

Completamento chiuso

Angoli interni di un poligono

Calcola l'ampiezza degli angoli interni del pentagono convesso

A B C D E

in figura.

\hat{A} =

________

\hat{B} =

________

\hat{C} =

________

\hat{D} =

________

\hat{E} =

________

Completamento aperto

Quadrato

Dopo aver disegnato quattro quadrati con lo stesso centro e i lati lunghi rispettivamente

1

,

3

,

5

e

7

centimetri, rispondi alla seguente domanda.

Il rapporto tra le diagonali di due qualunque di questi quadrati è:

A: un numero razionale

B: un numero irrazionale

C: un numero intero

D: un multiplo di

\sqrt{2}

Scelta multipla

Trapezi

Associa a ogni angolo del trapezio

A B C D

la sua ampiezza.

B \hat{A} D

________

A \hat{D} C

________

B \hat{C} D

________

A \hat{B} C

________

Posizionamento