Fondamentali alla prova - Limiti

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Rappresenta le seguenti funzioni e stabilisci per quale vale ${\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to 2^{-}}{lim}f(x)}$.
a.   $f(x)=(x-2{)}^2$
b.   $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x-1& \text{se }x\le 2\\ 3& \text{se }x>2\end{array}$
c.  $f(x)=\{\begin{array}{ll}x-1& \text{se }x\le 2\\ 1-x& \text{se }x>2\end{array}$

a.   Il grafico è quello in figura ________
Dalla rappresentazione deduciamo che ${\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{lim}f(x)}$________${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{lim}f(x)}$.

b.   Il grafico è quello in figura ________
Dalla rappresentazione deduciamo che ${\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{lim}f(x)}$________${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{lim}f(x)}$.

c.  Il grafico è quello in figura ________
Dalla rappresentazione deduciamo che ${\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{lim}f(x)}$________${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{lim}f(x)}$.

Applica la definizione per verificare i seguenti limiti:
${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^{x^3}=0}$;
${\displaystyle \underset{x\to 4}{lim}\frac{1}{x^2-8x+16}=+\mathrm{\infty }}$;
${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(4x-x^2)=-\mathrm{\infty }}$;
${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}(3-x^2)=-1}$.

1.   ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^{x^3}=0}$;
Scelto $\epsilon >0$, dobbiamo verificare che esiste un intorno di ________ per ogni $x$ del quale si ha $|e^{x^3}|$ ________ $\epsilon$. Risolviamo la disequazione
$|e^{x^3}|<\epsilon \to$
$x^3<$ ________ $\to$
$x<\sqrt[3]{\ln \epsilon }$.
Poiché $\epsilon >0$ e arbitrariamente piccolo, la disequazione è verificata per ogni $x$ dell'intorno $]-\mathrm{\infty };\sqrt[3]{\ln \epsilon }[$, quindi il limite è verificato.

2.   ${\displaystyle \underset{x\to 4}{lim}\frac{1}{x^2-8x+16}=+\mathrm{\infty }}$
Osserviamo che
$x^2-8x+16=($ $x$ ________ $4{)}^2$.
Fissiamo $M>0$ e risolviamo la disequazione ${\displaystyle \frac{1}{(x-4{)}^2}>M}$:
$(x-4{)}^2$ ________ ${\displaystyle \frac{1}{M}\to }$ $|x-4|<\frac{1}{\sqrt{M}}\to$
________ ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{M}}<x-4<\frac{1}{\sqrt{M}}\to }$
${\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{M}}+4<x<\frac{1}{\sqrt{M}}+4}$.
Per ogni $x$ dell'intorno completo di $4$, ${\displaystyle ]-\frac{1}{\sqrt{M}}+4;\frac{1}{\sqrt{M}}+4[}$, escluso al più $4$, il valore della funzione è ________ di $M$, quindi il limite è verificato.

3.   ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(4x-x^2)=-\mathrm{\infty }}$
Fissiamo $M>0$ e risolviamo la disequazione
$4x-x^2<$ ________:
$-x^2+4x+M<0\to$
$x^2-4x-M$ ________ $0$ $\to$
$x<2-\sqrt{4+M}\vee x>2+\sqrt{4+M}$.
Per ogni $x$ di $]-\mathrm{\infty };2-\sqrt{4+M}[$ è vera la condizione $4x-x^2<-M$, pertanto il limite è verificato.

4.   ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}(3-x^2)=-1}$
Scelto $ϵ>0$, dobbiamo trovare un'intorno di ________ in cui si ha
$|(3-x^2)|$ ________ $|<\epsilon$.
Risolviamo la disequazione:
$|(3-x^2)+1|<\epsilon \to$
$\{\begin{array}{l}-x^2+4<\epsilon \\ -x^2+4>-\epsilon \end{array}\to \{\begin{array}{l}{x}^2>4-\epsilon \\ x^2<4+\epsilon \end{array}.$
Prima disequazione.
$x^2>4-\epsilon \to$
$x<-\sqrt{4-\epsilon }\vee x>\sqrt{4-\epsilon }$.
Seconda disequazione.
$x^2<4+\epsilon \to$
________.
Le soluzioni del sistema sono
$-\sqrt{4+\epsilon }<x<-\sqrt{4-\epsilon }\vee \sqrt{4-\epsilon }<x<\sqrt{4+\epsilon }$,
ma solo il ________ intervallo rappresenta un intorno completo di $2$, quindi il limite è verificato.

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

L'insieme $B=\{x\in \mathbb{R}||x-8|<3\}$ è:

Deduci i seguenti limiti indicati osservando il grafico della funzione $f(x)$ in figura.

a.   ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}f(x)}$   ________
b.   ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}f(x)}$   ________
c.   ${\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{lim}f(x)}$   ________
d.   ${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{lim}f(x)}$   ________
e.   ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)}$    ________
f.   ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)}$   ________