Fondamentali alla prova - Le rette, i parallelogrammi e i trapezi #386391

Somma degli angoli interni di un triangolo

Nella figura l'ampiezza indicata con

x

è:

A:

35^{\circ}

.

B:

20^{\circ}

.

C:

30^{\circ}

.

D:

25^{\circ}

.

Scelta multipla

Criterio a parallelismo

Dato un angolo acuto

a \hat{O} b

e la sua bisettrice

O c

, siano

P

un punto su

O c

e

d

l'asse del segmento

O P

. Siano

Q

e

R

i punti di intersezione, rispettivamente, di

d

e

O b

e di

d

e

O a

. Dimostra che

P Q

è parallelo alla semiretta

O a

.

Ipotesi:

a \hat{O} c ≅ c \hat{O} b

;
________ asse di

O P

.

Tesi:

P Q ∥ O a

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo i triangoli

O M Q

e

P M Q

. Essi hanno:

•

M Q

in comune;
•

O M ≅

________ perché

d

è l'asse di

O P

, quindi lo incontra nel punto medio

M

;
• ________

≅ P \hat{M} Q

perché angoli formati dall'asse

d

e dal segmento

O P

.

Quindi sono congruenti per il ________ criterio di congruenza.

In particolare

Q \hat{O} M ≅

________, cioè

b \hat{O} c ≅

________.
Poiché, per ipotesi,

a \hat{O} c ≅ b \hat{O} c

, otteniamo

a \hat{O} c ≅

________.
Gli angoli ________ e

M \hat{P} Q

sono alterni interni delle rette contenenti

P Q

e ________, tagliate dalla trasversale ________, concludiamo che

P Q ∥

________per il criterio di parallelismo.

Completamento chiuso

Rette perpendicolari e parallele

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.
Affinché due rette siano:

A:

perpendicolari, è sufficiente che siano incidenti.

B:

perpendicolari, è necessario che non siano parallele.

C:

parallele, è sufficiente che siano perpendicolari a una stessa retta.

Vero o falso

Inverso del criterio di parallelismo

Dato il triangolo

A B C

, considera la parallela ad

A C

che passa per il vertice

B

e su di essa considera il punto

D

in modo che

A D

non intersechi

B C

e che

B D ≅ A C .

. Dimostra che

A B C ≅ A B D

.

Ipotesi:

B D ∥ A C

;

B D ≅ A C

.

Tesi:

A B C ≅ A B D

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo i triangoli

A B C

e

A B D

. Essi hanno:

•

A B

in comune;
•

A C ≅ B D

________;
•

C \hat{A} B ≅ A \hat{B} D

per ________ di parallelismo.

Quindi sono congruenti per il ________ criterio.

Completamento chiuso

Inverso del criterio di parallelismo

Le rette nere in figura sono parallele. Determina

x

e

y

.

A:

x = 115^{\circ}

,

y = 85^{\circ}

B:

x = 75^{\circ}

,

y = 95^{\circ}

C:

x = 100^{\circ}

,

y = 80^{\circ}

D:

x = 105^{\circ}

,

y = 75^{\circ}

Scelta multipla

Problema con il parallelogramma

Nel parallelogramma

A B C D

, l'angolo

\hat{A}

è inferiore di

40^{\circ}

rispetto all'angolo

\hat{D}

.
Calcola le ampiezze degli angoli del parallelogramma.

Poiché

A B C D

è un parallelogramma,

\hat{A} ≅

________ e

\hat{B} ≅

________.
Per ipotesi,

\hat{A} = \hat{D} - 40^{\circ}

.
Inoltre, deve essere

\hat{A} + \hat{D} =

________

\to

________

=

________

\to \hat{D} =

________.
Pertanto,

\hat{A} =

________.

Completamento chiuso

Problema con il rettangolo

La somma della base e dell'altezza di un rettangolo è

8

m. Calcola le lunghezze dei lati del rettangolo, sapendo che la base è il triplo dell'altezza.

Indichiamo con

b

e

h

la base e l'altezza del rettangolo. Dai dati del problema sappiamo che:
•

b + h = 8

cm;
•

b =

________.
Sostituiamo la seconda relazione nella prima e risolviamo l'equazione.

b + h = 8 \to 3 h + h = 8 \to h =

________.
Quindi la base e l'altezza sono lunghi ________ m e

2

m rispettivamente.

Completamento chiuso

Dimostrazioni sul parallelogramma

Nel parallelogramma

A B C D

, prolunga la diagonale

B D

da entrambe le parti di due segmenti congruenti

B E

e

D F

. Dimostra che

A E C F

è un parallelogramma.

Ipotesi:

A B C D

parallelogramma;

B E ≅ D F

.

Tesi:

A E C F

parallelogramma

DIMOSTRAZIONE

Poiché

A B C D

è un parallelogramma, le diagonali

A C

e ________ si incontrano nel loro punto medio

M

:

D M ≅ M B

.
Inoltre, poiché per ipotesi

B E ≅ D F

, abbiamo ________

≅ M E

, perché ________ di segmenti congruenti.
Consideriamo ora il quadrilatero ________:

• il punto medio della diagonale

A C

è

M

per la dimostrazione precedente;
• il punto medio della diagonale ________ è ________ per la dimostrazione precedente.

Allora, poiché le diagonali

A C

e ________ si incontrano nel loro punto medio

M

, anche il quadrilatero ________ è un parallelogramma.

Completamento chiuso

Rombo

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

Se un quadrilatero ha le diagonali perpendicolari, allora è un rombo.

B:

Se un parallelogramma ha due lati consecutivi congruenti, allora è un rombo.

C:

Un rombo non può avere quattro angoli congruenti.

D:

Un quadrilatero avente quattro lati congruenti è un rombo.

Vero o falso

Dimostrazioni sul trapezio

Usando le informazioni sul trapezio

A B C D

, con basi

A B

e

C D

, in figura dimostra che

A O ≅ O B

e

O C ≅ O D

.

Ipotesi:

A B C D

trapezio;

A D ≅ B C

.

Tesi:

A O ≅ O B

,

O C ≅ O D

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo i triangoli

A B C

e

D A B

. Essi hanno:

•

A B

in comune;
•

A \hat{B} C ≅

________ per il teorema del trapezio isoscele;
•

A D ≅ B C

per ipotesi.

Quindi per il ________ criterio di congruenza.

In particolare,

A C ≅ D B

e

C \hat{A} B ≅

________, cioè

O \hat{A} B ≅ O \hat{B} A

.
Quindi sono congruenti per ________ del triangolo isoscele,

A O B

è isoscele, con

A O ≅

________.

Ne segue che

O C ≅

________ perché ________ di segmenti congruenti.

Completamento chiuso