Fondamentali alla prova - Le disequazioni #476379

Disequazioni fratte

Risolvi la seguente disequazione.

$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 2 x + 1} \geq 1$

Scriviamo la disequazione nella forma $\frac{N (x)}{D (x)} \geq 0$ o $\frac{N (x)}{D (x)} \leq 0$

$x^{2} - 4 x + 4$ ________	$\geq 0 \to$
$x^{2} - 2 x + 1$

$\frac{- 2 x + 3}{x^{2} - 2 x + 1} \geq 0$

Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.

$N > 0$ : $- 2 x + 3 > 0 \to$ $x$ ________ $\frac{3}{2}$ ;

$D > 0$ : $x^{2} - 2 x + 1 > 0 \to$ ________.

Le soluzioni sono quindi:

________.

Completamento chiuso

Studio del segno di un trinomio di secondo grado

Quale dei seguenti trinomi è positivo per valori interni all'intervallo delle radici?

A:

- 6 x^{2} + 5 x + 1

B:

6 x^{2} - 5 x - 1

C:

- x^{2} - x - 5

D:

x^{2} - 10 x + 25

Scelta multipla

Interpretazione grafica di una disequazione di secondo grado

Interpreta graficamente la seguente disequazione.

- x^{2} + \frac{11}{2} x - 6 \geq 0

Associamo alla disequazione la parabola di equazione

y = - x^{2} + \frac{11}{2} x - 6

e cerchiamo i punti della parabola che hanno ordinata ________.
La parabola ha la concavità rivolta verso ________ e interseca l'asse

x

nei punti di ascisse:

- x^{2} + \frac{11}{2} x - 6 = 0 \to

- 2 x^{2} + 11 x - 12 = 0 \to

Δ =

________

\to

________.
La rappresentazione grafica della disequazione è quella in figura ________.
Dal grafico deduciamo che le soluzioni della disequazione sono:
________.

Completamento chiuso

Disequazione intera di grado superiore al secondo

Risolvi la seguente disequazione.

16 x^{4} - 41 x^{2} + 18 \leq 0

Alla disequazione è associata l'equazione biquadratica

16 x^{4} - 41 x^{2} + 18 = 0

.
Poniamo

x^{2} = t

:

Δ =

________,

t = \frac{41 \pm 23}{32} \to

16 t^{2} - 41 t + 18 =

(t

________

)

(t

________

2)

.
Da cui:

16 x^{4} - 41 x^{2} + 18 =

(x^{2}

________

)

(x^{2}

________

2)

.
La disequazione iniziale diventa:

(x^{2}

________

)

(x^{2}

________

2) \leq 0

.
Studiamo il segno di ciascun fattore.

F_{1} > 0 \to

(x^{2}

________

) > 0 \to

________

F_{2} > 0 \to

x^{2} > 2 \to

________.
La rappresentazione grafica dello studio del segno della disequazione è quello in figura ________

Ricaviamo le soluzioni della disequazione:
________.

Completamento chiuso

Disequazioni fratte

Risolvi la seguente disequazione.

\frac{x^{2} + 3 x + 7}{4 x - 4 - x^{2}} < 0

La disequazione data è equivalente a:

\frac{x^{2} + 3 x + 7}{x^{2} - 4 x + 4}

________

0

.
Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.

N > 0

:

x^{2} + 3 x + 7 > 0

\to

________

x \in R

;

D > 0

:

x^{2} - 4 x + 4 > 0

\to

________
Le soluzioni sono quindi: ________

Completamento chiuso

Interpretazione grafica di una disequazione di secondo grado

Interpreta graficamente la seguente disequazione.

6 x^{2} + x - 1 < 0

Associamo alla disequazione la parabola di equazione

y = 6 x^{2} + x - 1

e cerchiamo i punti della parabola che hanno ordinata ________.
La parabola ha la concavità rivolta verso ________ e interseca l'asse

x

nei punti di ascisse:

6 x^{2} + x - 1 = 0 \to Δ =

________

\to

________.
La rappresentazione grafica della disequazione è quella in figura ________.
Deduciamo che le soluzioni della disequazione sono: ________.

Completamento chiuso

Risoluzione algebrica di una disequazione di secondo grado

Risolvi la disequazione $6 (x^{2} - \frac{1}{3}) \geq - x$ .

Senza eseguire ulteriori calcoli scrivi l'intervallo delle soluzioni delle seguenti disequazioni:

a. $6 x^{2} + x - 2 < 0$ ;

b. $- (6 x^{2} + x - 2) \leq 0$ .

Scriviamo la disequazione in forma normale:

$6 (x^{2} - \frac{1}{3}) \geq - x \to$

$6 x^{2} + x - 2$ ________ $0$ .

Risolviamo l'equazione associata $6 x^{2} + x - 2 = 0$ .

$Δ =$ ________ $> 0$ $\to x =$	$- 1 \pm$ ________
	$12$

$x_{1} =$ ________, $x_{2} =$ ________

La disequazione richiede che il trinomio $6 x^{2} + x - 2$ sia ________ con il coefficiente $6$ di $x^{2}$ , quindi le sue soluzioni sono:

________

Per trovare le soluzioni delle altre due disequazioni date, osserviamo che abbiamo già trovato le radici del trinomio $6 x^{2} + x - 2$ , presente al primo membro di entrambe, e sono: ________ e ________

a. La disequazione richiede che il trinomio $6 x^{2} + x - 2$ sia ________ con il coefficiente $6$ di $x^{2}$ , quindi le sue soluzioni sono: ________.

b. La disequazione richiede che il trinomio $6 x^{2} + x - 2$ sia ________ con il coefficiente $6$ di $x^{2}$ , quindi le sue soluzioni sono: ________

Completamento chiuso

Disequazione intera di grado superiore al secondo

Risolvi la seguente disequazione.

x^{4} + 5 x^{3} - 6 x^{2} \geq 0

x^{4} + 5 x^{3} - 6 x^{2} =

x^{2} (

________

+ 5 x -

________

)

Studiamo il segno di ciascun fattore:

F_{1} > 0

:

x^{2} > 0 \to

________;

F_{2} > 0

:

x^{2} + 5 x - 6 > 0

.
L'equazione associata è

x^{2} + 5 x - 6 = 0

:

Δ =

________

> 0 \to

x_{1} =

________,

x_{2} =

________.

F_{2}

è positivo per ________.
La rappresentazione grafica dello studio del segno della disequazione è quella in figura ________.

La disequazione

x^{4} + 5 x^{3} - 6 x^{2} \geq 0

è quindi verificata per:
________

Completamento chiuso

Risolvere un problema

In un vivaio si coltivano e vendono orchidee. Il ricavo che si ha dalla vendita di

x

vasi è

R (x) = 15 x

, mentre il costo di produzione è

C (x) = 2 x^{2} + 4 x + 3

.
Quanti vasi devono essere venduti per avere un guadagno superiore a

9

€?

Impostiamo la disequazione risolvente il problema:

R (x)

________

C (x)

________

9

\to

- 2 x^{2} + 11 x

________________

0 \to

2 x^{2} - 11 x

________________

0

.
Alla disequazione è associata l'equazione

2 x^{2} - 11 x

________

= 0

.

Δ =

________

\to

x_{1} = \frac{3}{2}, x_{2} = 4.

La disequazione ha quindi soluzioni:
________.
Per avere un guadagno superiore a

9

€ devono quindi essere venduti ________ vasi.

Completamento chiuso

Equazione con un valore assoluto

Per quali

x

l'equazione

| x^{2} - 1 | + 4 x = 2

è equivalente all'equazione

1 - x^{2} + 4 x = 2

?

A:

- 1 \leq x \leq 1

B:

x \leq - 1 \lor x \geq 1

C:

\forall x \in R

D:

∄ x \in R

Scelta multipla

Sistema di disequazioni

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

{\begin{cases} x^{2} - 8 x - 9 \leq 0 \\ x^{2} - 8 x + 12 > 0 \end{cases}

Consideriamo la prima disequazione del sistema: iniziamo con il risolvere l'equazione associata.

x^{2} - 8 x - 9 = 0

Δ = 64 + 36 = 100

x_{1, 2} = \frac{8 \pm 10}{2} \to x_{1} = 9, x_{2} =

________.
Quindi la disequazione ha come soluzioni:
________.
Consideriamo ora la seconda disequazione: risolviamo l'equazione associata.

x^{2} - 8 x + 12 = 0

Δ = 64 - 48 = 16

x_{1, 2} = \frac{8 \pm 4}{2} \to x_{1} = 6, x_{2} = 2

.
Quindi la disequazione ha come soluzioni:
________.
Il sistema, tenendo conto degli intervalli trovati, avrà soluzione:
________.

Completamento chiuso

Equazione parametrica

Per quale valore del parametro

k \in R

l'equazione

k^{2} x = x + 2 k

nell'incognita

x

ha una soluzione negativa?

Isoliamo la

x

nell'equazione:

x = \frac{2 k}{k^{2} - 1}

.
L'equazione ha una soluzione negativa se

\frac{2 k}{k^{2} - 1}

________

0

.
Risolviamo la disequazione studiando il segno della frazione:
•

2 k

________

0

\to

k > 0

;
•

k^{2} - 1 > 0

\to

________.
Quindi l'equazione è verificata se
________.

Completamento chiuso

Equazioni irrazionali con radicali di indice dispari

Risolvi la seguente disequazione.

x - \sqrt[3]{4 x^{2} + 5 x + 1} = - 1

Risolviamo l'equazione irrazionale:

4 x^{2} + 5 x + 1 =

________

\to

________

= 0

\to

x = 0, x = - 1, x = 2.

Completamento chiuso

Equazioni irrazionali con radicali di indice pari

Risolvi la seguente equazione.

$4 + \sqrt{11 - 2 x} = x$

L'equazione irrazionale equivale al sistema:

${\begin{cases} \end{cases}$	________	.
	$11 - 2 x = x^{2} + 16 - 8 x$

Risolviamolo:

${\begin{cases} x \geq 4 \\ x^{2} - 6 x + 5 = 0 \end{cases} \to$ ________.

Completamento chiuso