Fondamentali alla prova - I parallelogrammi e i trapezi #296009

Problema con il trapezio

Determina le ampiezze degli angoli del trapezio in figura.

Dai dati in figura deduciamo che

α = β =

________.

Poiché opposto al vertice di un angolo di

42^{\circ}

,

ε

è ampio ________.

Inoltre, poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è ________,

γ =

________

- (ε + 75^{\circ}) =

________.

Infine, dato che la somma degli angoli interni di un trapezio è ________, otteniamo:

δ =

________

- (α + β + γ) =

________.

Completamento chiuso

Dimostrazioni sul rettangolo

Utilizzando le informazioni in figura, dimostra che

A H P K

è un rettangolo.

Ipotesi:

A B C

triangolo rettangolo;

P H ⊥

________;

P K ⊥

________.

Tesi:

A H P K

rettangolo

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo il quadrilatero

A H P K

:

• gli angoli ________,

A \hat{H} P

e

A \hat{K} P

sono retti per ipotesi;
• poiché la somma degli angoli interni di un quadrilatero è ________,

K \hat{P} H =

________

(H \hat{A} K + A \hat{H} P + A \hat{K} P) =

________.

Quindi

A H P K

è un rettangolo, perché è un parallelogramma (ha ________________) con ________ congruenti.

Completamento chiuso

Dimostrazioni sul parallelogramma

Nel parallelogramma

A B C D

, prolunga la diagonale

B D

da entrambe le parti di due segmenti congruenti

B E

e

D F

. Dimostra che

A E C F

è un parallelogramma.

Ipotesi:

A B C D

parallelogramma;

B E ≅ D F

.

Tesi:

A E C F

parallelogramma

DIMOSTRAZIONE

Poiché

A B C D

è un parallelogramma, le diagonali

A C

e ________ si incontrano nel loro punto medio

M

:

D M ≅ M B

.
Inoltre, poiché per ipotesi

B E ≅ D F

, abbiamo ________

≅ M E

, perché ________ di segmenti congruenti.
Consideriamo ora il quadrilatero ________:

• il punto medio della diagonale

A C

è

M

per la dimostrazione precedente;
• il punto medio della diagonale ________ è ________ per la dimostrazione precedente.

Allora, poiché le diagonali

A C

e ________ si incontrano nel loro punto medio

M

, anche il quadrilatero ________ è un parallelogramma.

Completamento chiuso

Dimostrazioni sul trapezio

Usando le informazioni sul trapezio

A B C D

, con basi

A B

e

C D

, in figura dimostra che

A O ≅ O B

e

O C ≅ O D

.

Ipotesi:

A B C D

trapezio;

A D ≅ B C

.

Tesi:

A O ≅ O B

,

O C ≅ O D

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo i triangoli

A B C

e

D A B

. Essi hanno:

•

A B

in comune;
•

A \hat{B} C ≅

________ per il teorema del trapezio isoscele;
•

A D ≅ B C

per ipotesi.

Quindi per il ________ criterio di congruenza.

In particolare,

A C ≅ D B

e

C \hat{A} B ≅

________, cioè

O \hat{A} B ≅ O \hat{B} A

.
Quindi sono congruenti per ________ del triangolo isoscele,

A O B

è isoscele, con

A O ≅

________.

Ne segue che

O C ≅

________ perché ________ di segmenti congruenti.

Completamento chiuso

Teorema del fascio di rette parallele

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false. Rispondi osservando la figura, nella quale le rette

a

,

b

,

c

,

d

ed

e

sono parallele.

A:

A D

e

I G

sono segmenti corrispondenti.

B:

Se

B C ≅ I H

, allora

D E ≅ G F

.

C:

Se

I H ≅ G F

, allora

B C ≅ D E

.

D:

Se

B C ≅ D E

, allora

B C ≅ D E ≅ I H ≅ G F

.

Vero o falso

Rombo

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

Se un quadrilatero ha le diagonali perpendicolari, allora è un rombo.

B:

Se un parallelogramma ha due lati consecutivi congruenti, allora è un rombo.

C:

Un rombo non può avere quattro angoli congruenti.

D:

Un quadrilatero avente quattro lati congruenti è un rombo.

Vero o falso

Problema con il parallelogramma

Nel parallelogramma

A B C D

, l'angolo

\hat{A}

è inferiore di

40^{\circ}

rispetto all'angolo

\hat{D}

.
Calcola le ampiezze degli angoli del parallelogramma.

Poiché

A B C D

è un parallelogramma,

\hat{A} ≅

________ e

\hat{B} ≅

________.
Per ipotesi,

\hat{A} = \hat{D} - 40^{\circ}

.
Inoltre, deve essere

\hat{A} + \hat{D} =

________

\to

________

=

________

\to \hat{D} =

________.
Pertanto,

\hat{A} =

________.

Completamento chiuso

Problema con il rettangolo

In un rettangolo

A B C D

il lato

A B

è il triplo di

B C

. Sapendo che il perimetro è

256

cm, calcola le lunghezze dei lati

C D

e

A D

.

Poiché

A B C D

è un rettangolo,

A B ≅

________ e ________

≅ A D

.

Per ipotesi,

A B =

________

B C

e il perimetro è

256

cm.

Da cui:
________

(A B + B C) =

________

(

________

B C + B C) =

________

B C

256

cm

=

________

B C \to

B C =

________ cm.
Di conseguenza,

A B =

________ cm.

Completamento chiuso