Fai il punto sulle competenze - Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy #562833

Considera la funzione

f (x) = 5 x^{4} - 4 x^{5} + 5 x^{3}

.
Completa le seguenti affermazioni.

a.

x = - \frac{1}{2}

è un punto di ________.

b.

x =

________ è un punto di flesso orizzontale.

c.

x = \frac{3}{2}

è un punto di ________.

Completamento chiuso

Vero o falso?

A:

La funzione

f (x) = \sqrt{| x |}

ha un flesso a tangente verticale in

x = 0

.

B:

La funzione

f (x) = 2 x e^{x}

ha il minimo assoluto in

x = 1

.

C:

La funzione

f (x) = \log_{3} (| x | + 1)

ha un punto angoloso in

x = 0

.

D:

La funzione

f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 2

ha un punto di massimo assoluto nel suo dominio.

Vero o falso

Quale dei seguenti è un punto di massimo assoluto della funzione

f (x) = - 9 x^{4} + 2 x^{3} + 6 x^{2} - 1

?

A:

x = - \frac{1}{2}

B:

x = 0

C:

x = \frac{2}{3}

D:

x = 1

Scelta multipla

Quale dei seguenti è un punto di minimo della funzione

f (x) = \frac{1}{2} \cos^{2} x - \sin x

?

A:

x = 0

B:

x = \frac{π}{2}

C:

x = π

D:

x = \frac{3}{2} π

Scelta multipla

La funzione

f (x) = \ln (| 2 - x | + 2) - 1

ha in

x = 2

:

A:

una cuspide.

B:

un punto angoloso.

C:

un flesso a tangente verticale.

Scelta multipla

Per quali valori dei parametri

a

e

b

reali la funzione

f (x) = a x^{4} + b x^{3} + 1

ha un minimo in

x = \frac{3}{2}

e la tangente nel punto di ascissa

1

è parallela alla retta di equazione

y = - 2 x

?

A:

a = - 1

e

b = - 2

.

B:

a = - 1

e

b = 2

.

C:

a = 1

e

b = - 2

.

D:

a = 1

e

b = 2

.

Scelta multipla

Un geyser erutta periodicamente acqua calda e vapore a causa della pressione sotterranea e la sua altezza può essere descritta secondo la legge del moto verticale dalla funzione:

h (t) = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}

,
dove

v_{0}

è la velocità iniziale del getto espressa in m/s,

t

è il tempo espresso in secondi e

g

è l'accelerazione di gravità espressa in m/s². Se la velocità iniziale di un geyser è di

20

m/s, dopo quanto tempo raggiungerà l'altezza massima? A che valore corrisponde?
Usa l'approssimazione

g ≃ 10

m/s².

1. Scriviamo la legge del moto verticale del geyser considerato:

h (t) =

________

t

- \frac{1}{2} g t^{2}

.

2. Determiniamo dopo quanto tempo il geyser raggiunge la sua massima altezza calcolando la derivata prima della legge del moto

h^{'} (t) =

________

- g t

e studiandone il segno.

h^{'} (t) \geq 0

\to

20 - g t \geq 0 \to

g t

________

20

\to

t

________

2

s.

3. Il geyser raggiunge il picco massimo dopo ________ s e, in quel momento, ha un'altezza di ________ m.

Completamento chiuso

Per quali valori dei parametri

a

,

b \in Z

il grafico rappresenta una funzione del tipo

f (x) = e^{a x} (2 x^{2} + b x)

?

A:

a = - 4

e

b = 4

.

B:

a = - 1

e

b = 3

.

C:

a = 4

e

b = - 4

.

D:

a = 1

e

b = - 3

.

Scelta multipla