Fai il punto sulle competenze - Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy

Considera le funzioni $f(x)={\sin }^{2}x-2\sin x$ e $g(x)=\sin x+5$ nell'intervallo ${\displaystyle [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]}$. Verifica che valgono le ipotesi del teorema di Cauchy e trova il punto di cui il teorema assicura l'esistenza.

Controlliamo che sono verificate le tre ipotesi del teorema di Cauchy:

•   $f(x)$ e $g(x)$ sono continue in ${\displaystyle [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]}$;

•   $f(x)$ e $g(x)$ sono derivabili in
________${\displaystyle -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}}$________,
con $f^{\prime }(x)=-2\cos x+2\cos x\sin x$ e $g^{\prime }(x)=\cos x$;

•   $g^{\prime }(x)\ne 0$ in ${\displaystyle ]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}[}$; infatti $g^{\prime }(x)=\cos x\ne 0$ per $x\ne$________$+k\pi$ con $k\in \mathbb{Z}$.

Poiché valgono le ipotesi del teorema, deve esistere almeno un punto $c\in {\displaystyle ]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}[}$ nel quale:

Abbiamo:

${\displaystyle \frac{-2\cos c+2\cos c\sin c}{\cos c}=\frac{-1-3}{6-4}\to }$

$-2+2$________$=-2\to$

$\sin c=$________$\to c=k\pi$, con $k\in \mathbb{Z}$.

Il punto cercato è $c=$________, che appartiene all'intervallo ${\displaystyle ]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}[}$.