Fai il punto sulle competenze - Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy #562260

Applica il teorema di Lagrange alle seguenti funzione nell'intervallo indicato. Poi associa ciascuna funzione al punto che soddisfa le tesi del teorema.

f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}, [- 2; - 1] .

________

f (x) = | x^{2} - 4 |, [- 1; 1] .

________

f (x) = 2 x - \sqrt{x}, [0; 4] .

________

f (x) = 2 x + \ln x, [1; e] .

________

Posizionamento

Per quali valori di

a

e

b

la funzione

f (x) = {\begin{cases} a + b \cos x - 1 & se x < 0 \\ \cos 2 x + b + 1 & se x \geq 0 \end{cases}

verifica le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

?

A:

a = 3 \land b = 1

B:

a = 3 \land b = 2

C:

a = 1 \land b = 3

D:

a = 1 \land b = 2

Scelta multipla

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

L'equazione

\ln x^{2}

ammette una sola soluzione nell'intervallo

[0; 2]

.

B:

L'equazione

x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 2 = 0

ha una sola soluzione reale.

C:

L'equazione

x^{3} - 3 x^{2} + 2 = 0

ammette una sola soluzione nell'intervallo

[0; 3]

.

Vero o falso

Vero o falso?
Considera una funzione

f (x)

in un intervallo

[a; b]

:

A:

se

f^{'} (x) = 0

in

[a; b]

, allora

f (x)

è costante in

[a; b]

.

B:

se

f^{'} (x) = g^{'} (x)

in

[a; b]

, dove

g (x)

è una funzione in

[a; b]

, allora

f (x) = g (x)

.

C:

se

f (x)

è continua e derivabile in

[a; b]

e

f^{'} (x) < 0

,

\forall x \in [a; b]

, allora

f (x)

è crescente in

[a; b]

.

D:

se

f (x)

è continua e derivabile in

[a; b]

e

f (x)

è crescente in

[a; b]

, allora

f^{'} (x) < 0

,

\forall x \in [a; b]

.

Vero o falso

Per quale valore di

k \in R

la funzione

y = x^{3} - 2 k x^{2} + k x - 27

è sempre crescente in

R

?

A:

x < 0 \lor x > \frac{3}{4}

B:

k < 0 \lor k > \frac{3}{4}

C:

0 < k < \frac{3}{4}

D:

0 < x < \frac{3}{4}

Scelta multipla

Considera le funzioni $f (x) = \sin^{2} x - 2 \sin x$ e $g (x) = \sin x + 5$ nell'intervallo $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ . Verifica che valgono le ipotesi del teorema di Cauchy e trova il punto di cui il teorema assicura l'esistenza.

Controlliamo che sono verificate le tre ipotesi del teorema di Cauchy:

• $f (x)$ e $g (x)$ sono continue in $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ ;

• $f (x)$ e $g (x)$ sono derivabili in
________ $- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}$ ________,
con $f^{'} (x) = - 2 \cos x + 2 \cos x \sin x$ e $g^{'} (x) = \cos x$ ;

• $g^{'} (x) \neq 0$ in $] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [$ ; infatti $g^{'} (x) = \cos x \neq 0$ per $x \neq$ ________ $+ k π$ con $k \in Z$ .

Poiché valgono le ipotesi del teorema, deve esistere almeno un punto $c \in] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [$ nel quale:

$\frac{f^{'} (c)}{g^{'} (c)} =$	$f (\frac{π}{2})$ ________ $f (- \frac{π}{2})$	.
	$g (\frac{π}{2}) - g (- \frac{π}{2})$

Abbiamo:

$\frac{- 2 \cos c + 2 \cos c \sin c}{\cos c} = \frac{- 1 - 3}{6 - 4} \to$

$- 2 + 2$ ________ $= - 2 \to$

$\sin c =$ ________ $\to c = k π$ , con $k \in Z$ .

Il punto cercato è $c =$ ________, che appartiene all'intervallo $] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [$ .

Completamento chiuso

Completa osservando il grafico della funzione

f (x)

in figura.

f^{'} (x)

________

0

in

] - \infty; - 3 [

.

f^{'} (x)

________

0

in

] - 3; - 1 [

.

f^{'} (x)

________

0

in

] 2; 3 [

.

f^{'} (x)

________

0

in

] 4; + \infty [

.

Completamento chiuso

Considera una funzione

f (x) = 2 x^{5} + e^{\frac{x}{2}}

. Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

f (x)

è invertibile

\forall x \in R

.

B:

D [f^{- 1} (1)] = 2

.

C:

D [f^{- 1} (e + 64)] = \frac{2}{e + 320}

.

Vero o falso