Fai il punto sulle competenze - Teorema di De L'Hospital #562264

Determina il dominio della funzione

f (x) = \frac{x^{2} - 1 + e^{3 x}}{3 x - 1 + e^{x}}

.
Calcola poi

lim_{x \to 0} f (x)

e

lim_{x \to + \infty} f (x)

.

a. La funzione

f (x)

è definita quando il denominatore è diverso da

0

:

3 x - 1 + e^{x} \neq 0 \to x \neq 0

.
Quindi il dominio di

f (x)

è

R - {

________

}

.

b. Determiniamo

lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 1 + e^{3 x}}{3 x - 1 + e^{x}}

.
Poiché per

x \to 0

sia

g (x) = x^{2} - 1 + e^{3 x}

sia

h (x) = 3 x - 1 + e^{x}

tendono a

0

, abbiamo la forma indeterminata ________.
Calcoliamo le derivate:

g^{'} (x) = 2 x +

________

e^{3 x}

,

h^{'} (x) = 3 + e^{x}

e

h^{'} (x) \neq 0 \forall x \in R

.
Allora

lim_{x \to 0} \frac{2 x + 3 e^{3 x}}{3 + e^{x}} =

________.
Tutte le ipotesi del teorema di De L'Hospital sono verificate, quindi

lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 1 + e^{3 x}}{3 x - 1 + e^{x}} = \frac{3}{4}

.

c. Determiniamo

lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} - 1 + e^{3 x}}{3 x - 1 + e^{x}}

.
Poiché per

x \to + \infty

sia

g (x) = x^{2} - 1 + e^{3 x}

sia

h (x) = 3 x - 1 + e^{x}

tendono a

+ \infty

, abbiamo la forma indeterminata

\frac{\infty}{\infty}

.
Abbiamo già calcolato

f^{'} (x)

al punto precedente e osserviamo che

lim_{x \to + \infty} \frac{2 x + 3 e^{3 x}}{3 + e^{x}}

è ancora una forma

\frac{\infty}{\infty}

.
Calcoliamo le derivate seconde:

g^{″} (x) = 2 +

________

e^{3 x}

,

h^{″} (x) = e^{x}

e

h^{'} (x) \neq 0 \forall x \in R

.
Quindi abbiamo

lim_{x \to + \infty} \frac{2 + 9 e^{3 x}}{e^{x}}

, è ancora una forma

\frac{\infty}{\infty}

.
Calcoliamo le derivate terze:

g^{‴} (x) = 27 e^{3 x}

,

h^{‴} (x) =

________ e

h^{'} (x) \neq 0 \forall x \in R

.
Abbiamo

lim_{x \to + \infty} \frac{27 e^{3 x}}{e^{x}} = lim_{x \to + \infty} 27

________

= + \infty

.
Tutte le ipotesi del teorema di De L'Hospital sono verificate, quindi

lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} - 1 + e^{3 x}}{3 x - 1 + e^{x}} = + \infty

.

Completamento chiuso

Completa i seguenti limiti.

$lim_{x \to 0}$	$\arctan 6 x$	$= 2$
	________ $x$

$lim_{x \to 1}$	$e^{x} - e$	$= \frac{e}{3}$
	________ $x - 3$

$lim_{x \to 0}$	$\arcsin$ ________ $x^{2}$	$= 4$
	$\sin^{2} 2 x$

$lim_{x \to + \infty}$	$25 x^{2} +$ ________ $e^{x}$	$= 5$
	$3 e^{x}$

Completamento chiuso

Vero o falso?
Il teorema di De L'Hospital:

A: richiede nelle ipotesi che le funzioni siano continue ma non necessariamente derivabili.

B: si applica calcolando la derivata del quoziente.

C: può essere applicato ai limiti in forma indeterminata

\infty \cdot \infty

.

Vero o falso

I seguenti limiti sono tutti uguali a

5

, tranne uno. Quale?

A:

lim_{x \to + \infty} 5 (x^{2} - 10 x)^{\frac{1}{x}}

B:

lim_{x \to 0^{+}} (\frac{5}{\sin x} - \frac{5}{x})

C:

lim_{x \to + \infty} \frac{1 - 5 x^{2}}{25 - x^{2}}

D:

lim_{x \to 0^{+}} 5 \tan x^{\sin x}

Scelta multipla

Completa i seguenti limiti inserendo i risultati corretti.

a.

lim_{x \to 1} \frac{e^{x - 1} - 1}{\ln x} =

________

b.

lim_{x \to + \infty} \frac{e^{2 x}}{x^{2}} =

________

c.

lim_{x \to - \infty} x^{3} e^{x} =

________

d.

lim_{x \to 0^{+}} (5 x)^{x} =

________

Completamento chiuso

Considera la funzione

f (x) = \frac{7 x^{2} + a \sin (x)}{\ln (x + 1)}

.
Per quale valore di

a

risulta

lim_{x \to 0} f (x) = 3

?

A:

21

B:

7

C:

3

D:

1

Scelta multipla

A quale dei seguenti limiti non può essere applicato il teorema di De L'Hospital?

A:

lim_{x \to 2} \frac{e^{x - 2} - 1}{x^{2} - 4}

B:

lim_{x \to 1^{+}} \frac{\ln (x - 1)}{1 - x}

C:

lim_{x \to 0} \frac{x + \sin x}{x}

D:

lim_{x \to - 3} \frac{x + 3}{x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 2}

Scelta multipla