Fai il punto sulle competenze - Successioni, progressioni, principio di induzione #544009

Considera la successione

a_{n} = \frac{10 - n}{3}

, definita per

n \in N - {0}

. Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

a_{n}

è una progressione geometrica.

B:

a_{n}

ha ragione

- \frac{1}{3}

ed è illimitata inferiormente.

C:

a_{n}

è monotona.

D:

La somma dei termini della successione dal quarto al sedicesimo è

2

.

Vero o falso

Solo una tra le seguenti successioni è crescente. Quale?

A:

a_{n} = \frac{n + 3}{n}, n \in N - {0}

B:

a_{n} = \frac{n - 1}{n + 1}

C:

a_{n} = {(\frac{2}{3})}^{n + 1}

D:

a_{n} = \log_{\frac{1}{2}} (n + 1)

Scelta multipla

Completa la seguente dimostrazione con il principio di induzione, relativamente all'uguaglianza:

$\frac{3}{4} + \frac{3^{2}}{4} + \frac{3^{3}}{4} + \dots + \frac{3^{n}}{4} = \frac{3 (3^{n} - 1)}{8}$ ,

per $n \in N - {0}$ .

Primo passo

Verifichiamo che se $n =$ ________ l'uguaglianza è vera. Infatti, il primo membro vale $\frac{3}{4}$ e il secondo $\frac{3 (3 - 1)}{8} = \frac{3}{4}$ .

Secondo passo

Ammettiamo che l'uguaglianza sia vera per ________ e dimostriamo che è vera per $n + 1$ , cioè dimostriamo che:

$\frac{3}{4} + \frac{3^{2}}{4} + \frac{3^{3}}{4} + \dots + \frac{3^{n}}{4} + \frac{3^{n + 1}}{4} =$

________.

Se l'uguaglianza è vera per $n$ , il primo membro diventa:

________ $+ \frac{3^{n + 1}}{4} =$

$3 (3^{n} - 1 + 2 \cdot$ ________ $)$	$= \frac{3 (3^{n + 1} - 1)}{8} .$
$8$

Poiché sono vere entrambe le condizioni del principio di induzione concludiamo che l'uguaglianza è vera $\forall n \geq 1$ .

Completamento chiuso

La successione

a_{n} = \log_{\frac{1}{2}} \frac{3}{n + 1}

, definita per

n \in N

, è:

A:

crescente e limitata.

B:

decrescente e limitata.

C:

crescente e illimitata.

D:

decrescente e illimitata.

Scelta multipla

Considera le successioni

a_{n} = \frac{1}{3^{n}} - \frac{1}{4 \cdot 3^{n + 1}}

e

b_{n} = a_{n + 1} + a_{n}

.

A:

a_{n}

è una progressione geometrica di ragione

- \frac{1}{3}

.

B:

b_{n} = \frac{11}{9} \cdot {(\frac{1}{3})}^{n}

.

C:

b_{n}

è una progressione geometrica.

D:

b_{n}

non è monotona.

Vero o falso

Cecilia investe

5000

€ in un deposito con tasso annuo fisso del

3 %

, in regime di capitalizzazione composta.

A:

Il capitale

C (n)

dopo

n

anni dall'investimento segue una progressione aritmetica.

B:

C (n) = 5000 \cdot 0, 03^{n}

.

C:

Dopo cinque anni dall'investimento, il capitale è

5796, 37

€.

D:

Dopo dieci anni dall'investimento il capitale di Cecilia aumenta del

34, 4 %

.

Vero o falso

Considera la successione

a_{n} = \sin \frac{n π}{2} + 1

, definita per

n \in N

. Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

a_{n}

è una progressione aritmetica.

B:

a_{n} = \cos \frac{π (1 - n)}{2} + 1, \forall n \in N .

C:

a_{n}

non è monotona.

D:

a_{n} > 0, \forall n \in N .

Vero o falso