Fai il punto sulle competenze - Successioni e principio di induzione #507659

In un laboratorio il numero di batteri di una colonia raddoppia ogni ora. Al tempo $0$ la colonia conta $50$ batteri. Se indichiamo con $n$ il numero di ore trascorse dall'inizio dell'osservazione e con $a_{n}$ il numero corrispondente di batteri, completa le seguenti affermazioni.

a. ________ $= 50$ .

b. La forma ricorsiva della successione $a_{n}$ è:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$a_{0} = 50$
	$a_{n} = 2 \cdot$ ________, $n \geq 1$ .

c. Dopo $5$ ore, i batteri della colonia saranno $a_{5} = 2 \cdot a_{4} = 2^{2} \cdot a_{3} = \dots =$ ________.

Completamento chiuso

Quale delle seguenti affermazioni è vera per la successione

a_{n} = \frac{2 n - 1}{n}

,

n \in N - {0}

?

A: È costante.

B: È decrescente.

C: È crescente.

D: È nulla.

Scelta multipla

Per quale valor di

k

la successione

a_{n} = \frac{3}{4 \cdot k^{n}}

è costante?

A:

0

B:

1

C:

\frac{3}{4}

D:

\frac{4}{3}

Scelta multipla

Quale dei seguenti è il termine generale della successione

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, \dots

?

A:

a_{n} = 2 n + 1

B:

a_{n} = n (n + 1)

C:

a_{n} = \frac{n + 1}{2}

D:

a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}

Scelta multipla

Quale delle seguenti sommatorie ha come risultato

- \frac{1}{6}

?

A:

\sum_{k = 1}^{4} \frac{k - 2}{k^{2}}

B:

\sum_{k = 1}^{4} \frac{k - 2}{k}

C:

\sum_{k = 1}^{4} \frac{k^{2} - 2}{k}

D:

\sum_{k = 1}^{4} \frac{k - 2}{2 k}

Scelta multipla

Associa a ogni successione la sua espressione analitica o la sua forma ricorsiva.

a.

2

,

3

,

5

,

9

,

17

,

33

,

\dots

________

b.

2

,

5

,

14

,

29

,

50

,

77

,

\dots

________

c.

0

,

\frac{1}{2}

,

\frac{4}{3}

,

\frac{9}{4}

,

\frac{16}{5}

,

\frac{25}{6}

,

\dots

________

d.

1

,

2

,

\frac{5}{2}

,

\frac{11}{4}

,

\frac{23}{8}

,

\frac{47}{16}

,

\dots

________

Posizionamento

Dimostra applicando il principio di induzione che per

n \in N - {0}

vale l'uguaglianza

\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i (i + 1)} = \frac{n}{n + 1}

.

1. Dimostriamo che l'uguaglianza è vera per

n =

________.

\sum_{i = 1}^{1} \frac{1}{1 (1 + 1)} = \frac{1}{1 + 1} \to \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

2. Dimostriamo il caso

n + 1

suppondendo vera la proprietà per un generico valore

n

. Scriviamo il primo membro nel caso

n + 1

:

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{i (i + 1)} =

________

\frac{1}{i (i + 1)} +

________.
Poiché la proprietà è vera per

n

, sostituendo e svolgendo i calcoli, si ottiene:

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{i (i + 1)} =

________

+ \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} =

\frac{(n + 1)^{2}}{(n + 1) (n + 2)} =

________.

3. Il secondo membro per

n + 1

è ________.
Poiché primo e secondo membro sono uguali, l'uguaglianza è verificata.

Completamento chiuso