Fai il punto sulle competenze - Studio di funzioni polinomiali, razionali fratte e irrazionali #564701

Per quali valori dei parametri reali

a

e

b

la funzione

f (x) = \frac{x^{2} + a x - a - 4}{x^{2} + 2 b x + 1}

ammette asintoto verticale

x = 1

e ha un massimo in

x = 3

?

A:

a = 1, b = 1.

B:

a = 1, b = - 1.

C:

a = - 1, b = 1.

D:

a = - 1, b = - 1.

Scelta multipla

Il grafico della funzione

f (x) = {(\frac{a x - 2}{2 x + b})}^{4}

passa per il punto

(0; 16)

e ha un minimo in

x = \frac{1}{2}

.
Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

b = - 1

.

B:

a = 4

.

C:

y = 16

è un asintoto orizzontale.

D:

f (\frac{1}{2}) = f^{'} (\frac{1}{2})

.

Vero o falso

La funzione rappresentata in figura è simmetrica rispetto all'origine ed è del tipo

y = \frac{A (x)}{B (x)}

, dove

A (x)

è un polinomio di primo grado e

B (x)

è un polinomio di secondo grado. Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

A (x) = - 3 x .

B:

B (x) = x^{2} - 2 x + 1.

C:

y = 0

è un asintoto orizzontale.

D:

y^{″} > 0

per

x < - 1 \lor x > 1

.

Vero o falso

Luca programma di depositare in un conto corrente bancario

10000

€ per due anni e sei mesi. La banca opera in regime di capitalizzazione mista, applicando cioè la capitalizzazione composta per gli anni interi e quella semplice per le frazioni di anno.
a. Esprimi la somma

M

, in euro, della quale disporrà Luca tra due anni e sei mesi, in funzione del tasso d'interesse

i

offerto dalla banca, con

i > 0

.
b. Verifica che tale funzione non ha massimi e minimi relativi e determina la concavità di

M (i)

.

a. Il montante disponibile dopo due anni, in regime di capitalizzazione composta, è:

M_{2} = 10000 \cdot

________.
Applichiamo a questo valore la capitalizzazione semplice per sei mesi e otteniamo:

M (i) = M_{2}

________, da cui:

M (i) = 10000 \cdot (1 + i)^{2} (1 + \frac{1}{2} i) \to

M (i) =

________

\cdot (1 + i)^{2} (2 + i)

.

b. Calcoliamo

M^{'} (i)

.

M^{'} (i) = 5000 \cdot (i + 1) (3 i + 5)

Poiché

i > 0 \to M^{'} (i) > 0

, la funzione è sempre ________ nel suo dominio e non ha massimi e minimi relativi.
Calcoliamo

M^{″} (i)

.

M^{″} (i) = 10000 \cdot

________

\to

M^{″} (i) > 0, \forall i > 0

.
La concavità della funzione è sempre rivolta verso ________.

Completamento chiuso

Considera la famiglia di funzioni

f_{k} : R \to R

, definita al variare di

k \in R - {0}

, dall'espressione

f_{k} (x) = \sqrt[3]{\frac{x^{2} + k x - k - 1}{x^{2} - 1}}

e indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

Ciascuna funzione della famiglia ha asintoto orizzontale

y = 1

.

B:

Per

k = - 4

la funzione ha due asintoti verticali.

C:

Nessuna funzione della famiglia ha estremi relativi.

D:

Per

k = - 1

la funzione ha una cuspide nell'origine.

Vero o falso

Il grafico a fianco rappresenta la funzione

f (x) = \frac{a x^{2} + b x + c}{B (x)}

, dove

B (x)

è un polinomio e

a, b \in R

.
Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

B (x) = (x - 2)^{2}

.

B:

a = - 1, b = c = 1

.

C:

Il punto di massimo relativo di

f (x)

ha coordinate

(3; - 5)

.

D:

f^{″} (x) = \frac{2}{(x - 2)^{3}}

.

Vero o falso

Indica se le seguenti affermazioni relative alla funzione

f (x) = \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{x^{2}}

sono vere o false.

A:

È derivabile

\forall x \in R

.

B:

Ha una cuspide in

x = 0

.

C:

f^{″} (1) < 0

.

D:

È crescente

\forall x \in R

.

Vero o falso

Quale tra le seguenti funzioni ha come dominio

R

, è né pari né dispari e ha un asintoto orizzontale?

A:

f (x) = 3 x^{5} - 4 x + 1

B:

f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x + 1}

C:

f (x) = \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2} + 4}}

D:

f (x) = \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + 4}

Scelta multipla