Fai il punto sulle competenze - Studio di funzioni goniometriche e loro inverse

Indica quale tra le seguenti funzioni presenta tutte le caratteristiche seguenti:

• ha dominio $x\ne 0$;
• ha un asintoto orizzontale di equazione $y=0$;
• non ha né massimi né minimi.

La gittata $G$ di un proiettile si può esprimere in funzione dell'angolo $\alpha$ e della velocità $v$ di lancio con la relazione:
${\displaystyle G=\frac{v^2\sin 2\alpha }{g}}$, dove $g=9,8$ m/s² è l'accelerazione di gravità.

Un proiettile deve colpire un bersaglio posto a distanza $G=125$ m dal punto di lancio.

a.   Scrivi la legge che esprime l'angolo $\alpha$ in radianti in funzione della velocità $v$ di lancio espressa in m/s.

b.   Verifica che la funzione è crescente e ha concavità rivolta verso l'alto in tutto il suo dominio.

c.   Interpreta il significato di ${\displaystyle \underset{v\to +\mathrm{\infty }}{lim}\alpha (v)}$.

d.   Calcola il valore massimo dell'angolo di lancio del proiettile.

a.   Ricaviamo $\alpha$ dalla relazione ${\displaystyle G=\frac{v^2\sin 2\alpha }{g}}$, considerando $g=9,8$ m/s² e $G=125$ m:

$\alpha =$________$\to$${\displaystyle \alpha =\frac{1}{2}\arcsin \frac{1225}{v^2}}$.

Il dominio della funzione si ottiene ponendo ${\displaystyle -1\le \frac{1225}{v^2}\le 1}$, cioè:

$v$________$35$.

b.   Calcoliamo ${\alpha }^{\prime }(v)$.

${\alpha }^{\prime }(v)=-$________

${\displaystyle {\alpha }^{\prime }(v)=-\frac{1225}{v\sqrt{v^4-{1225}^2}}}$

Poiché ${\alpha }^{\prime }(v)<0$, $\mathrm{\forall }v\in D-\{35\}$, $\alpha (v)$ è decrescente nel suo dominio.

Ricaviamo ${\alpha }^{″}(v)$.

Poniamo ${\alpha }^{″}(v)>0$:

$3v^4-{1225}^2>0\to v>\sqrt[4]{\frac{{1225}^2}{3}}\simeq 26,6$.

Poiché $v\ge$________, la funzione ha concavità rivolta verso l'alto nel suo dominio.

c.   ${\displaystyle \underset{v\to +\mathrm{\infty }}{lim}\alpha (v)=}$

${\displaystyle \underset{v\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2}\arcsin \frac{1225}{v^2}=}$________

Quando la velocità tende all'infinito, la traiettoria del proiettile diventa orizzontale.

d.   Poiché la funzione è decrescente, il valore massimo di $\alpha$ si ha per $v=$________ m/s e vale:

${\alpha }_{max}=$________.