Fai il punto sulle competenze - Studio di funzioni goniometriche e loro inverse #564647

Il grafico a fianco rappresenta la funzione

f (x) = \sin^{2} (x + a)

.
Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

a = - \frac{π}{4}

.

B:

Ha periodo

T = 2 π

.

C:

Ha un massimo in

x = \frac{π}{4}

.

D:

Ha un flesso in

x = \frac{π}{2}

.

Vero o falso

La funzione

f (x) = \arcsin \sqrt{x}

:

A:

è sempre positiva nel suo dominio.

B:

non ha punto di massimo assoluto.

C:

ha un punto di flesso in

x = \frac{1}{2}

.

D:

è derivabile nel suo dominio.

Scelta multipla

Indica se le seguenti affermazioni relative alla funzione

f (x) = \ln \arctan x

sono vere o false.

A:

Ha un asintoto verticale.

B:

Non ha asintoti orizzontali.

C:

È crescente per

x > 0

.

D:

In

[0; + \infty [

ha la concavità verso l'alto.

Vero o falso

Indica se le seguenti affermazioni relative alla funzione

f (x) = \cos^{2} x - \sin x - 1

, in

[0; 2 π]

sono vere o false.

A:

È crescente per

\frac{π}{2} < x < \frac{3}{2} π

.

B:

È crescente per

0 < x < π

.

C:

Ha due massimi relativi in

x = \frac{π}{2}

e in

x = \frac{3}{2} π

.

D:

Ha quattro punti di flesso.

Vero o falso

Il grafico rappresenta la funzione

f (x) = \arctan \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{a - x}}

. Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

a = 1

.

B:

È derivabile in

x = 0

.

C:

Ha un flesso in

x = \frac{1}{2}

.

D:

f^{- 1} (x) = \sin^{2} x

, con

x \in [0; \frac{π}{2} [.

Vero o falso

Associa a ciascuna funzione il suo periodo.

y = \sin (3 x + 1)

________

y = \tan (3 x + 1)

________

y = \cos^{2} (6 x + 2)

________

y = \tan^{2} (6 x + 2)

________

Posizionamento

Indica se le seguenti affermazioni relative alla funzione

f (x) = \tan x + \sin 2 x

sono vere o false.

A:

Ha un asintoto orizzontale.

B:

x = \frac{3}{2} π

è asintoto verticale.

C:

È sempre decrescente nel suo dominio.

D:

Il punto di coordinate

(\frac{π}{4}; 2)

è un punto di flesso.

Vero o falso

Indica quale tra le seguenti funzioni presenta tutte le caratteristiche seguenti:

ha dominio $x \neq 0$ ;
ha un asintoto orizzontale di equazione $y = 0$ ;
non ha né massimi né minimi.

A:

y = \arctan \frac{1}{x}

B:

y = \sin \frac{1}{x}

C:

y = \cos \frac{1}{x}

D:

y = \tan \frac{1}{x}

Scelta multipla

La gittata $G$ di un proiettile si può esprimere in funzione dell'angolo $α$ e della velocità $v$ di lancio con la relazione:
$G = \frac{v^{2} \sin 2 α}{g}$ , dove $g = 9, 8$ m/s² è l'accelerazione di gravità.

Un proiettile deve colpire un bersaglio posto a distanza $G = 125$ m dal punto di lancio.

a. Scrivi la legge che esprime l'angolo $α$ in radianti in funzione della velocità $v$ di lancio espressa in m/s.

b. Verifica che la funzione è crescente e ha concavità rivolta verso l'alto in tutto il suo dominio.

c. Interpreta il significato di $lim_{v \to + \infty} α (v)$ .

d. Calcola il valore massimo dell'angolo di lancio del proiettile.

a. Ricaviamo $α$ dalla relazione $G = \frac{v^{2} \sin 2 α}{g}$ , considerando $g = 9, 8$ m/s² e $G = 125$ m:

$α =$ ________ $\to$ $α = \frac{1}{2} \arcsin \frac{1225}{v^{2}}$ .

Il dominio della funzione si ottiene ponendo $- 1 \leq \frac{1225}{v^{2}} \leq 1$ , cioè:

$v$ ________ $35$ .

b. Calcoliamo $α^{'} (v)$ .

$α^{'} (v) = -$ ________

$α^{'} (v) = - \frac{1225}{v \sqrt{v^{4} - 1225^{2}}}$

Poiché $α^{'} (v) < 0$ , $\forall v \in D - {35}$ , $α (v)$ è decrescente nel suo dominio.

Ricaviamo $α^{″} (v)$ .

$α^{″} (v) = 1225$	$3 v^{4} -$ ________
	________ $\sqrt{(v^{4} - 1225^{2})^{3}}$

Poniamo $α^{″} (v) > 0$ :

$3 v^{4} - 1225^{2} > 0 \to v > \sqrt[4]{\frac{1225^{2}}{3}} ≃ 26, 6$ .

Poiché $v \geq$ ________, la funzione ha concavità rivolta verso l'alto nel suo dominio.

c. $lim_{v \to + \infty} α (v) =$

$lim_{v \to + \infty} \frac{1}{2} \arcsin \frac{1225}{v^{2}} =$ ________

Quando la velocità tende all'infinito, la traiettoria del proiettile diventa orizzontale.

d. Poiché la funzione è decrescente, il valore massimo di $α$ si ha per $v =$ ________ m/s e vale:

$α_{m a x} =$ ________.

Completamento chiuso