Fai il punto sulle competenze - Studio di funzioni esponenziali e logaritmiche

Indica se le seguenti affermazioni relative alla funzione ${\displaystyle f(x)=\ln \frac{x^2-1}{x+2}}$ sono vere o false.

La concentrazione plasmatica di un farmaco è modellizzata con una funzione esponenziale e si dimezza ogni $3$ ore a partire dal momento dell'assunzione del farmaco.
a.   Scrivi la legge che esprime la concentrazione plasmatica $C(t)$, come percentuale della concentrazione iniziale, in funzione del tempo $t$ espresso in ore.
b.   Calcola dopo quanto tempo la concentrazione è il $10\mathrm{\%}$ della concentrazione iniziale.
c.   Qual è la velocità di variazione della concentrazione del farmaco dopo $3$ ore dall'assunzione?

a.   Poniamo la concentrazione del farmaco al tempo $t=0$ pari a $1$, cioè al $100\mathrm{\%}$. La concentrazione plasmatica $C(t)$ del farmaco subisce un dimezzamento ogni $3$ ore, possiamo quindi scrivere:
$C(t)=$ ________.
b.   Calcoliamo dopo quanto tempo si ha $C(t)=$ ________.
$C(t)={\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{3}}\to }$ ________ $=$ ${\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{3}}\to }$
$t=$ ________ $\simeq 10$
La concentrazione si riduce al $10\mathrm{\%}$ di quella iniziale dopo circa $10$ ore dall'assunzione del farmaco.
c.   Calcoliamo la derivata di $C(t)$:
$C^{\prime }(t)=-$________ ${\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{3}}}$.
Ponendo $t=3$ otteniamo:
$C^{\prime }(3)=-$ ________ $\simeq -0,116$ $h^{-1}$.
Quindi la concentrazione plasmatica del farmaco a tre ore dall'assunzione sta diminuendo circa dell'$11,6\mathrm{\%}$ ogni ora.

Associa a ciascuna funzione il tipo di punto stazionario che ha in $x=0$.

$y=e^{x^2-1}$
________

$y=e^{1-x^3}$
________

$y=e^{x^3-1}$
________

$y=e^{1-x^2}$
________

Il grafico della funzione in figura ha equazione $f(x)=(x+a)e^{b-x}$ e la retta indicata è tangente al grafico di $f(x)$ nel suo punto di intersezione con l'asse delle ascisse.
Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Indica se le seguenti affermazioni relative alla funzione ${\displaystyle f(x)=\frac{e^x-2}{1-e^x}}$ sono vere o false.

Per quali valori di $a$ e $b$ il grafico della funzione $f(x)=\ln (a{x}^3+bx+1)$ è tangente in $A$ alla circonferenza di centro $C$ come mostrato in figura?

Qual è l'unica caratteristica che le funzioni della famiglia ${\displaystyle f_n(x)=\frac{e^{n-x}}{nx}}$, con $n\in \mathbb{Z}-\{0\}$, non hanno in comune?

La funzione rappresentata in figura è del tipo ${\displaystyle f(x)=\frac{a\ln x-1}{1-b\ln x}}$.
Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.