Fai il punto sulle competenze - Rette e parabole #586109

La retta

y = - 2 x + 1

e la parabola

y = - x^{2} + 2 x - 3

si intersecano:

A: in nessun punto.

B: nel punto

(2; - 3)

.

C: nel punto

(- 2; 3)

.

D: nei punti

(2; - 3)

e

(- 2; 3)

.

Scelta multipla

Determina le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equazione $y = x^{2} + 2 x + 3$ nei suoi punti $A$ e $B$ rispettivamente di ascisse $- 2$ e $1$ . Trova le coordinate del punto di intersezione $P$ delle due rette trovate e calcola la sua distanza dall'asse della parabola.

Determiniamo le coordinate dei punti $A$ e $B$ :

$A$ ________;

$B$ ________.

Scriviamo le equazioni dei fasci di rette con centro nei punti $A$ e $B$ :

$y - 3 = m (x + 2)$ e $y - 6 = m (x - 1)$ .

Determiniamo le equazioni delle rette tangenti.

${\begin{matrix} y = x^{2} + 2 x + 3 \\ y = m (x + 2) + 3 \end{matrix} \to$ $x^{2} + x (2 - m) - 2 m = 0 \to$ $Δ = m^{2} + 4 m + 4 = (m + 2)^{2} = 0 \to$ $m =$ ________.
Quindi l'equazione della retta tangente è:
$y - 3 = - 2 (x + 2) \to$ $y = - 2 x - 1$ .
${\begin{matrix} y = x^{2} + 2 x + 3 \\ y = m (x - 1) + 6 \end{matrix} \to$ $x^{2} + x (2 - m) + m - 3 = 0 \to$ $Δ = m^{2} - 8 m + 16 = (m - 4)^{2} = 0 \to$ $m =$ ________.
Quindi l'equazione della retta tangente è:
$y - 6 = m (x - 1) \to$ $y = 4 x + 2$ .

Troviamo le coordinate del punto di intersezione $P$ delle due rette tangenti:

${\begin{matrix} y = - 2 x - 1 \\ y = 4 x + 2 \end{matrix} \to$

$- 2 x - 1 = 4 x + 2 \to x = - \frac{1}{2}$ ,

quindi $P$ ________.

Determiniamo l'equazione dell'asse della parabola:

$x = \frac{- 2}{2} \to x = - 1$ .

Calcoliamo la distanza dal punto $P$ dall'asse della parabola:

$d =$ ________ $= \frac{1}{2}$ .

Completamento chiuso

La retta

y = - x

e la parabola

y = x^{2} + 1

si intersecano:

A: in nessun punto.

B: nel punto

(\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{1 - \sqrt{5}}{2})

.

C: nel punto

(\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2})

.

D: nei punti

(\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{1 - \sqrt{5}}{2})

e

(\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2})

.

Scelta multipla

La retta

y = 3 x + 1

e la parabola

y = x^{2} + 2 x - 5

si intersecano:

A: in nessun punto.

B: nel punto

(- 2; - 5)

.

C: nel punto

(3; 10)

.

D: nei punti

(- 2; - 5)

e

(3; 10)

.

Scelta multipla

Le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equazione

y = - 2 x^{2} + x - 1

condotte dal punto

P (\frac{1}{2}; - \frac{1}{2})

sono:

A:

y = 3 x - 1

e

y = - x + 1

.

B:

y = - 3 x + 1

e

y = x - 1

.

C:

y = 3 x - 2

e

y = - x

.

D:

y = - 3 x + 2

e

y = x

.

Scelta multipla

Stabilisci per quali valori di

k

la parabola e la retta rispettivamente di equazioni

y = - 2 x^{2} + 2 x + k

e

y = - x + 1

sono:
a. tangenti;
b. secanti.

Mettiamo a sistema le equazioni della retta e della parabola

{\begin{matrix} y = - 2 x^{2} + 2 x + k \\ y = - x + 1 \end{matrix} \to

- 2 x^{2} + 2 x + k = - x + 1 \to

2 x^{2} - 3 x - k + 1 = 0

Determiniamo il discriminante:

Δ = 9 - 8 (- k + 1) = 8 k

________

1

.

a. La parabola e la retta sono tangenti se

Δ

________

0

. Risolviamo l'equazione.

8 k + 1 = 0 \to k =

________.

b. La parabola e la retta sono secanti se

Δ

________

0

. Risolviamo l'equazione.

8 k + 1 > 0 \to k

________

- \frac{1}{8}

.

Completamento chiuso

L'area del triangolo

O A V

in figura, con

V

vertice della parabola, è:

A:

\sqrt{10}

.

B:

6

.

C:

3

.

D:

2 \sqrt{10}

.

Scelta multipla

Considera il punto

A (2; - 8)

, la retta di equazione

y = 8 x - 16

e la parabola di equazione

y = 2 x^{2} - 8

. Determina le coordinate del punto di tangenza

T

tra la retta e la parabola e trova l'area del quadrilatero

A V F T

, dove

F

e

V

sono rispettivamente il fuoco e il vertice della parabola.

Poniamo a sistema l'equazione della retta e della parabola:

{\begin{matrix} y = 8 x - 16 \\ y = 2 x^{2} - 8 \end{matrix} \to 2 x^{2} - 8 = 8 x - 16 \to

x^{2} - 4 x + 4 = 0 \to

(x - 2)^{2} = 0 \to x = 2

.
Quindi il punto di tangenza ha coordinate

T

________.
Calcoliamo le coordinate del fuoco

F

e del vertice

V

della parabola:

F

________

=

(0; \frac{1 - (0 + 64)}{8}) = (0; - \frac{63}{8})

;

V

________

=

(0; - \frac{64}{8}) = (0; - 8)

.
Calcoliamo l'area del quadrilatero

A V F T

, trapezio rettangolo:

A =

________

=

\frac{1}{8} + 8 = \frac{65}{8}

.

Completamento chiuso

La traiettoria della pallina da golf nel sistema di riferimento rappresentato in figura ha equazione

y = - \frac{2}{125} x^{2} + \frac{4}{5} x

.
Verifica che la pallina supera l'ostacolo d'acqua. Le coordinate del punto in cui ricade sono:

A:

(50; 0)

.

B:

(10; 0)

.

C:

(- 4, 4; 55)

.

D:

(55; - 4, 4)

.

Scelta multipla

Determina per quale valore di

k

la retta di equazione

y = 1 - x

risulta tangente alla parabola di equazione

y = - 2 x^{2} + 3 x + 1 - k

, poi trova il punto di tangenza.

Mettiamo a sistema le due equazioni e calcoliamo il discriminante dell'equazione risolvente:

{\begin{matrix} y = 1 - x \\ y = - 2 x^{2} + 3 x + 1 - k \end{matrix} \to

- 2 x^{2} + 4 x + 1 - k = 0

Δ = 16 - 8 k

.
Affinché la retta sia tangente alla parabola dobbiamo porre

Δ

________

0

:

16 - 8 k = 0 \to k =

________.
Calcoliamo le coordinate del punto di tangenza:

x =

________

= 1

,

y = 1 - 1 = 0 \to

________.

Completamento chiuso