Fai il punto sulle competenze - Rette e parabole

Un'azienda agricola produce olio sostenendo costi settimanali, in euro, espressi dalla funzione
$C(x)={\displaystyle \frac{1}{600}{x}^2+\frac{3}{2}x+12150}$,
dove $x$ è la quantità di olio prodotto, in litri. Il ricavo dell'azienda è espresso dalla funzione $R(x)=px$, dove $p$ è il prezzo di vendita, in €/L, che dovrebbe essere scelto affinché l'azienda sia almeno in pareggio, cosa che accade se il grafico della funzione del ricavo interseca il grafico della funzione dei costi in un solo punto.

a.   Qual è il prezzo di vendita minimo perché l'azienda sia almeno in pareggio?

b.   Al prezzo trovato, quanti litri di olio deve produrre e vendere per andare in pareggio?

a.   Il grafico della funzione ricavo interseca il grafico della funzione costo se

$R(x)$________$C(x)$:

${\displaystyle px=\frac{1}{600}{x}^2+\frac{3}{2}x+12150\to }$

${\displaystyle \frac{1}{600}{x}^2+(\frac{3}{2}-p)x+12150=0.}$

L'equazione di secondo grado ha due soluzioni coincidenti se $\mathrm{\Delta }$________$0$.

Scriviamo l'espressione del $\mathrm{\Delta }$:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }=\frac{9}{4}-3p+p^2-}$________$=$

${\displaystyle p^2-3p-\frac{315}{4}}$

e imponiamo che sia nullo:

$\mathrm{\Delta }=0\to$

${\displaystyle p=\frac{3\pm \sqrt{9+315}}{2}=}$________.

Otteniamo $p=-7,5$ e $p=10,5$.

Quindi il prezzo minimo di vendita affinché l'azienda sia almeno in pareggio è ________ €/L.

b.   Per trovare quanti litri deve produrre e vendere l'azienda per andare in pareggio risolviamo il seguente sistema:

$\{\begin{array}{c}x=2700\\ y=28350\end{array}.$

Possiamo concludere che l'azienda deve produrre ________ L di olio affinché costi e ricavi siano in pareggio.