Fai il punto sulle competenze - Punti e vettori nello spazio. Equazione del piano.

Considera i punti $A(3;0;0)$, ${\displaystyle B(-\frac{7}{6};0;\frac{5}{6}\sqrt{11})}$ e $C(0;4;0)$.
Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Associa ciascuna coppia di punti $A$ e $B$ al modulo del vettore $\overrightarrow{AB}$ di estremi $A$ e $B$.

$A(8;0;16)$ e $B(0;4;0)$.
________

${\displaystyle A(-\frac{1}{2};0;\frac{1}{2})}$ e ${\displaystyle B(0;\frac{3}{4};\frac{5}{4})}$.
________

${\displaystyle A(0;0;\sqrt{7})}$ e $B(1;3;0)$.
________

${\displaystyle A(1;3;-\frac{2}{3})}$ e ${\displaystyle B(3;-\frac{2}{3};0)}$.
________

Considera i vettori $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$ e $\overrightarrow{b}=9\overrightarrow{j}-12\overrightarrow{k}$. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Per quale valore dei seguenti valori di $k\in \mathbb{R}$ il piano di equazione $kx+(k+1)y-kz-(k+4)=0$ dista $1$ dal punto $P(3;-1;2)$?

Quale tra le seguenti equazioni descrive un piano parallelo al piano $\pi$: $3x-6y+2z-3=0$ e che dista $3$ da $\pi$?

Completa in modo che i piani $\alpha$ e $\beta$ siano perpendicolari.

$\alpha$: $x-5y+3z+1=0$;
$\beta$: $x+2y$________$3z-4=0$.

$\alpha$: $3x+y+2z-3=0$;
$\beta$: $-2x+$ ________$y-z+9=0$.

$\alpha$: $7x+y+3z=0$;
$\beta$: $-x+4y+$________$z-6=0$.

$\alpha$: $-6y+5z=0$;
$\beta$: $7x$________$5y-6z=0$.

Qual è l'ampiezza dell'angolo diedro acuto formato dai piani di equazioni $2x+2z-6=0$ e $2x-2y+z-4=0$?

In figura è rappresentato il progetto di un impianto fotovoltaico a terra in scala $1:90$, cioè $1$ cm sul foglio corrisponde a $90$ cm nella realtà. L'impianto è composto da $5$ pannelli fotovoltaici uguali tra loro. Sapendo che $A(0;0;1)$, $B(\sqrt{3};0;0)$ e $C(\sqrt{3};1;0)$, determina la superficie dell'impianto e la superficie di suolo occupata dall'impianto.

Per calcolare le dimensioni di un pannello fotovoltaico dobbiamo calcolare le misure di $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$:
• $\overline{AB}=$ ________ $=2$;
• $\overline{BC}=$ ________ $=1$.
L'impianto è composto in lunghezza da $5$ pannelli fotovoltaici quindi la lunghezza dell'impianto è:
$\overline{BL}=5\cdot$ ________ $=5$.
Per determinare la superficie di suolo occupata dall'impianto dobbiamo calcolare la proiezione del lato $AB$ sul suolo $(z=0)$:
$\overline{BO}=$ ________ $=\sqrt{3}$.
In scala $1:90$, le dimensioni reali dell'impianto sono:
• $\overline{AB}=2\cdot$ ________ $=180$;
• $\overline{BL}=$ ________ $\cdot 90=$ ________;
• $\overline{BO}=$ ________ $\cdot 90=90\sqrt{3}$.
Possiamo calcolare la superficie dell'impianto
$S_i=\overline{AB}\cdot \overline{BL}=180\cdot$ ________ $=$ ________.
La superficie di suolo occupata dall'impianto è
$S_s=$ ________ $\cdot \overline{BO}=$ $450\cdot 90\sqrt{3}\simeq 70148$.
Possiamo concludere che l'impianto ha una superficie di $8,1$ m² e occupa una superficie di suolo pari a circa $7,01$ m².