Fai il punto sulle competenze - Punti di non derivabilità

Un negozio di articoli sportivi ha realizzato degli adesivi con il disegno di un'onda stilizzata per sponsorizzare la nuova linea di mute da surf. Rispetto al riferimento indicato, la parte inferiore del disegno appartiene all'asse $x$, mentre la parte superiore al grafico della funzione

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{4x-x^2}& \text{se}0\le x<2\\ 2-\sqrt{-x^2+8x-12}& \text{se}2\le x\le 4\end{array}.$

a. Studia i punti di non derivabilità di $f(x)$.

b. Calcola l'area della parte colorata in azzurro.

a.   La funzione $f(x)$ è continua nel suo dominio e in particolare in $x=2$, infatti:

${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 2^{+}}{lim}f(x)=f(2)=}$________.

Calcoliamo la derivata di $f(x)$:

Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio:

${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}{f}^{\prime }(x)=}$________ e
${\displaystyle \underset{x\to 4^{-}}{lim}{f}^{\prime }(x)=}$________.

Quindi il grafico della funzione ha un flesso a tangente verticale in $x=0$ ed è derivabile in $x=4$.

Nel punto $x=2$ si ha:

${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{lim}{f}^{\prime }(x)=}$________ e
${\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{lim}{f}^{\prime }(x)=}$________.

Quindi la funzione $f(x)$ non è derivabile in $x=2$ e presenta un punto angoloso.

b.   Per calcolare l'area della parte colorata in azzurro consideriamo che essa è formata da ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ dell'area di un cerchio di raggio $2$ e dalla differenza tra l'area di un quadrato di lato $2$ e ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ dell'area di un cerchio di raggio $2$:

$A=$________$\pi r^2+$$($$r^2$________${\displaystyle \frac{1}{4}\pi r^2)=}$$r^2=2^2=4$.