Fai il punto sulle competenze - Punti di discontinuità e singolarità

Considera la funzione $f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sin x}}$. Di che tipo di singolarità è il punto $x=\pi$?

Considera la funzione
$f(x)=\{\begin{array}{cc}4-\sqrt{-2x-2}& x<-3\\ \frac{x^3+2x^2+x+2}{x^2-4}& x\ge -3\end{array}$
e associa a ogni punto di discontinuità o singolarità la sua classificazione.

$x=-3$   ________
$x=-2$   ________
$x=2$   ________

Per quale valore del parametro $k$ la funzione $f(x)={\displaystyle \frac{e^{kx}-1}{x}}$ presenta un punto di singolarità eliminabile in $x=0$?

In figura è rappresentato il grafico della funzione
$f(x)=\{\begin{array}{cc}6\cdot \frac{x+9}{x+8}& \text{se}x<-8\\ {\log }_3(x+8)& \text{se}-8<x<1\\ a+3^{b-x}& \text{se}x\ge 1\end{array}$.

a.   Determina il valore dei parametri $a$ e $b$ deducendo le informazioni dal grafico e studia la continuità di $f(x)$.
b.   Considerando il valore di $b$ trovato, quale valore dovrebbe assumere $a$ affinché $f(x)$ sia continua in $x=1$?

1.   Determiniamo il valore dei parametri $a$ e $b$ deducendo dal grafico che la funzione passa per il punto $A(1;1)$ e ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0}$. Imponiamo queste due condizioni:
•   ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0\to \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}a+3^{b-x}=0\to }$
$a=$ ________;
•   $f(1)=1\to a+3^{b-1}=1\to$
$3^{b-1}=1\to b=$ ________.

2.   Studiamo la continuità di $f(x)$ in $x=-8$:
•   ${\displaystyle \underset{x\to -8^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to -8^{-}}{lim}6\cdot \frac{x+9}{x+8}=}$ ________;
•   ${\displaystyle \underset{x\to -8^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to -8^{+}}{lim}{\log }_3(x+8)=}$ ________.
Allora in $x=-8$ la funzione $f(x)$ ha un punto di singolarità ________.

3.   Studiamo la continuità di $f(x)$ in $x=1$:
•   ${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}{\log }_3(x+8)=}$ ________;
•   ${\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}{3}^{1-x}=}$ ________.
Allora in $x=1$ la funzione $f(x)$ ha un punto di discontinuità ________.

4.   Troviamo infine il valore del parametro $a$ affinché $f(x)$ sia continua in $x=1$ imponendo che il limite destro in $x=1$ della funzione sia uguale al limite sinistro e uguale al valore assunto dalla funzione per $x=1$, ossia:
${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)=f(1)\to }$
________$\to a=1$.

Indica se le seguenti affermazioni relative alla funzione
$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^2+4x}{3x^2+9x-12}& x<2\wedge x\ne -4\\ 1& x=-4\\ \ln (x+2)& x\ge 2\end{array}$
sono vere o false.

Per quale valore del parametro $a$ la funzione
$f(x)=\{\begin{array}{cc}\ln |x+1|+a& x\le -2\\ (x^2-a)(x-1)& x>-2\end{array}$
ammette una discontinuità di prima specie con salto di ampiezza $6$ in $x=-2$?