Fai il punto sulle competenze - Progressioni aritmetiche

La somma dei primi $7$ numeri di una progressione aritmetica è $77$. Sapendo che l'ultimo termine è il quadruplo del secondo, qual è la ragione?

Il primo termine di una progressione aritmetica è $1$ e la somma dei primi $6$ numeri è $66$. Quanto vale la ragione della progressione?

In una progressione aritmetica di $n$ termini si conoscono $a_4={\displaystyle \frac{3}{2}}$, $a_7={\displaystyle \frac{5}{2}}$ e l'ultimo termine che è ${\displaystyle \frac{7}{2}}$. Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

In una progressione aritmetica il terzo termine è ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ e il sesto è ${\displaystyle \frac{15}{4}}$. Qual è la somma dei primi $8$ numeri?

Dati il primo termine e la ragione per ciascuna progressione, associa la somma corrispondente.

$a_1={\displaystyle \frac{1}{3},d=\frac{2}{3}}$.   ________

$a_1={\displaystyle \frac{1}{2},d=\frac{1}{2}}$.   ________

$a_1={\displaystyle \frac{2}{5},d=2}$.   ________

$a_1={\displaystyle \frac{1}{3},d=\frac{4}{3}}$.   ________

In una progressione aritmetica il sesto termine è il doppio del primo e la somma dei primi nove numeri è $324$. Considera un triangolo rettangolo i cui lati misurano, in cm, come il primo, l'ottavo e il nono termine della progressione. Calcola il perimetro e l'area del triangolo.

1.   Dal testo del problema sappiamo che il sesto termine della progressione è il doppio del primo, allora
$a_6=2\cdot a_1$.
D'altro lato, in una progressione aritmetica il sesto termine si può scrivere come
$a_6=a_1+$ ________ $\cdot d$.
Uguagliando i due termini, otteniamo: $a_1=5\cdot d$.

2. Ricordiamo che $a_9=a_1+8d$:
$9\cdot {\displaystyle \frac{a_1+a_9}{2}=}$
${\displaystyle 9\cdot \frac{(a_1+a_1+8d)}{2}=\frac{9(2a_1+8d)}{2}.}$
Imponiamo la condizione sulla somma $S_9=324$:
$9\cdot (a_1+$ ________ $d)=324$ $\to$
$a_1+$ ________ $d=36$.

3.   Sostituendo il risultato del punto 1. nel punto 2., determiniamo la ragione della progressione $d=$ ________.
Allora i lati del triangolo rettangolo sono:
$a_1=$________ cm,   $a_8=48$ cm,   $a_9=52$ cm.

4.   Calcoliamo il perimetro e l'area del triangolo.
$2p=$ ________ $+48+52=120$ cm;
${\displaystyle A=\frac{20\cdot 48}{2}=}$ ________ cm².