Fai il punto sulle competenze - Problemi di ottimizzazione

Giulio, per lenire il dolore, assume un medicinale il cui assorbimento nel sangue segue la funzione $A(t)=40t{e}^{1-2t}$, dove $t\ge 0$ è il tempo misurato in ore e $A(t)$ indica la concentrazione del medicinale nel sangue (in mg). Dopo quanto tempo il sangue avrà assorbito la massima concentrazione di medicinale?

Si consideri il rettangolo $ABCD$ di lati $AB$ e $AD$ che misurano $9$ m e $6$ m rispettivamente e si prenda un punto $P$ sul lato $AD$. A quale distanza da $A$ si trova $P$ affinché sia minima la somma del quadrato della distanza di $P$ da $B$ con il triplo del quadrato della distanza di $P$ da $C$?

Considera un cilindro equilatero con diametro di base $AB=2r$. Sia $C$ un punto sulla circonferenza di base, chiamiamo $x$ l'angolo $A\hat{B}C$. Quanto vale $x$ affinché la piramide che ha per base il triangolo $ABC$ e per vertice un punto del cerchio di base superiore del cilindro abbia volume massimo?

Considera la parabola di equazione ${\displaystyle y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x+3}$ e la retta $r$ di equazione $y=x-1$. Siano $A$ e $B$ le intersezioni tra la retta e la parabola e $C$ un punto della parabola dalla stessa parte del vertice rispetto alla retta $r$. Quali sono le coordinate di $C$ affinché il triangolo $ABC$ abbia area massima?

1.   Le intersezioni tra la parabola e la retta sono i punti
$A$________ e $B(4;3)$.
Allora il segmento $AB$, base del triangolo cercato, misura ________.

2.   Chiamiamo $x$ l'ascissa del punto $C$, allora il punto ha coordinate ${\displaystyle C(x;-\frac{1}{2}{x}^2+2x+3)}$, con i limiti ________.

3.   Troviamo l'altezza del triangolo $ABC$ calcolando la distanza del punto $C$ dalla retta $r$:
${\displaystyle h=d(C,r)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot }$________.
Notiamo che l'espressione all'interno del valore assoluto è ________$0$ nell'intervallo delle $x$ considerato, allora
${\displaystyle h=\frac{1}{\sqrt{2}}}$________.

4.   Scriviamo la funzione $y$ che definisce l'area del triangolo in funzione di $x$:
${\displaystyle y=\frac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot h=}$________$x^2$$+3x+12$.

5.   Infine, troviamo l'area massima calcolando la derivata prima di $y$ e studiandone il segno:
$y^{\prime }=-3x+3>0\to$
$x=1$ punto di ________ relativo
Il punto $C$ ha coordinate ________.

Osservando l'immagine e sapendo che la parabola ha il fuoco di ascissa $x=4$, quanto vale l'area minima del triangolo $BDO$?