Fai il punto sulle competenze - Problemi con gli integrali indefiniti #564168

f^{″} (x) = x \cos x + 1

. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

f^{'} (x) = \cos x + x \sin x + 1

è una primitiva di

f^{″} (x)

.

B:

f^{'} (x) = \cos x + x \sin x + x + 1

è una primitiva di

f^{″} (x)

.

C:

f (x) = 2 \sin x - x \cos x + \frac{1}{2} x^{2} + x - 1

è una primitiva di

f^{'} (x)

.

D:

f (x) = 2 \sin x - x \cos x + \frac{1}{2} x^{2} - 1

è una primitiva di

f^{'} (x)

.

Vero o falso

Quale, fra le seguenti funzioni, è la primitiva

F (x)

di

f (x) = \frac{3}{x^{4}} - \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x} + 1}}

che ha come asintoto orizzontale la retta di equazione

y = 2

?

A:

F (x) = 2 - 2 \sqrt{e^{x} + 1} - \frac{1}{x^{3}}

B:

F (x) = 2 \sqrt{e^{x} + 1} - \frac{1}{x^{3}}

C:

F (x) = 4 - 2 \sqrt{e^{x} + 1} - \frac{1}{x^{3}}

D:

F (x) = 2 \sqrt{e^{x} + 1} + \frac{1}{x^{3}}

Scelta multipla

Per quali valori di

a

e

b

,

a

,

b \in R

, la funzione

F (x) = 5 + a x - b \ln | x + 3 |

è una primitiva della funzione

f (x) = \frac{2 x + 1}{x + 3}

?

A:

a = 2 \land b = 5

B:

a = 1 \land b = 2

C:

a = 2 \land b = 1

D:

a = 1 \land b = - 5

Scelta multipla

Considera la famiglia delle primitive

F_{c} (x)

della funzione

f (x) = 6 e^{3 x} - \ln 3 x

.

Se

c =

________,

F (1) = 2 e^{3} - \ln 3

Se

c =

________,

F (\frac{e}{3}) = 2 e^{e}

Se

c =

________,

F (2) = 2 e^{6} - 2 \ln 6 - 2

Se

c =

________,

F (\frac{1}{3}) = 2 e + 2

Completamento chiuso

La corrente che attraversa un solenoide varia nel tempo

t

, espresso in secondi, seguendo la legge

i (t) = 7 (1 - e^{- 2 t})

. Se la carica iniziale sul solenoide è nulla, quale funzione descrive la carica

Q (t)

?

A:

Q (t) = 7 e^{- 2 t} + 7 t

B:

Q (t) = \frac{7}{2} e^{- 2 t} + 7 t + c

C:

Q (t) = \frac{7}{2} e^{- 2 t} + 7

D:

Q (t) = \frac{7}{2} e^{- 2 t} + 7 t - \frac{7}{2}

Scelta multipla

Considera la funzione

f (x) = \frac{k x}{9 x^{2} - 6 x + 1}

,

k \in R

.

Se

k =

________,

F (x) = \frac{2}{3} \ln | 3 x - 1 | - \frac{2}{9 x - 3} + c

.

Se

k =

________,

F (x) = \frac{1}{3} \ln | 3 x - 1 | - \frac{1}{9 x - 3} + c

.

Se

k =

________,

F (x) = \ln | 3 x - 1 | - \frac{1}{3 x - 1} + c

.

Se

k =

________,

F (x) = 3 \ln | 3 x - 1 | - \frac{3}{3 x - 1} + c

.

Completamento chiuso

La funzione

T^{'} (t) = - \frac{3}{2} e^{- \frac{t}{50}}

descrive quanto velocemente si raffredda una tazzina di caffè in funzione del tempo

t

, misurato in secondi. Se il caffè è stato servito a

95^{\circ} C

, dopo quanto tempo il cliente può berlo alla temperatura ottimale pari a

60^{\circ} C

?

Per calcolare dopo quanto tempo il cliente può bere il caffè, dobbiamo determinare la funzione che descrive l'andamento della temperatura:

T (t) = \int T^{'} (t) d t =

\int - \frac{3}{2} e^{- \frac{t}{50}} d t =

________

e^{- \frac{t}{50}} + c

.
La temperatura iniziale del caffè è

95^{\circ} C

al tempo

t = 0

; determiniamo la costante

c

:

T (t = 0) =

________

\to

75 + c = 95 \to c =

________.
Allora

T (t) = 75 e^{- \frac{t}{50}} + 20

.
Calcoliamo ora dopo quanti secondi il caffé raggiungerà la temperatura di

60^{\circ} C

:

T (t) =

________

\to

75 e^{- \frac{t}{50}} + 20 = 60 \to

75 e^{- \frac{t}{50}} =

________

\to

t = -

________

\ln

________

≃ 31

.
Il cliente può bere il caffè dopo circa

31

s.

Completamento chiuso

Considera la famiglia delle primitive

F_{c} (x)

della funzione

f (x) = 4 (2 x - 1) e^{4 x^{2} - 4 x + 1}

. Stabilisci se le seguenti informazioni sono vere o false.

A:

F (x)

ha la concavità rivolta verso l'alto

\forall c \in R

.

B:

F (x)

interseca l'asse

x

se e solo se

c \leq 1

.

C:

F (0) = F (1) \forall c \in R

.

D:

F (0) = e

solo se

c = 1

.

Vero o falso