Fai il punto sulle competenze - Primitive e integrali indefiniti immediati

Data la funzione $f(x)=x^4-x^2+4$, la sua primitiva il cui grafico passa per il punto $(0;2)$ è:

Completa in modo che $F(x)$ sia una primitiva di $f(x)$.

$F(x)=$ ________ $e^{-x}$, ${\displaystyle f(x)=\frac{3}{e^x}}$.

$F(x)=5\cos x$, $f(x)=$ ________ $\sin x$.

$F(x)=$ ________ $x^4$ $+$ ________ $x^3$, $f(x)=3x^3+4x^2$.

$F(x)=$ ________ $\sin x$, $f(x)=4\cos x$.

In figura sono rappresentate le funzioni polinomiali $f(x)$, $f^{\prime }(x)$ e $F(x)$, primitiva di $f(x)$. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Associa a ciascun integrale la sua soluzione.

${\displaystyle \int \frac{3x^2-25}{5x^2+5}dx}$
________

${\displaystyle \int \frac{3x^2-4}{2x^2+2}dx}$
________

${\displaystyle \int \frac{5x^2-4}{2x^2+2}dx}$
________

${\displaystyle \int \frac{5x^2-25}{x^2+1}dx}$
________

Associa a ciascuna funzione una sua primitiva.

$y=3x$   ________
$y=x^2-3$   ________
$y=3x^2+2x$   ________
$y=x^3$   ________

Quali valori devono assumere gli esponenti reali $a$ e $b$ affinché sia vera l'uguaglianza
${\displaystyle \int \frac{21x^8-9x^a+12x^2}{3x^b}dx=x^7-x^3+4x+c}$?

Un'azienda agricola, che coltiva patate, sostiene costi fissi di $300$ € e costi marginali descritti dalla funzione $c(x)=2+0,04x$, dove $x$ è la quantità, in kilogrammi, di patate coltivate. Il ricavo marginale è dato dalla funzione $r(x)=50-0,02x$.
a.   Scrivi le funzioni del costo totale e del ricavo.
b.   Determina quanti kilogrammi di patate l'azienda deve coltivare e vendere per avere il massimo guadagno.

a.   La funzione del costo totale $C(x)$ è la primitiva della funzione costo marginale $c(x)$:
$C(x)={\displaystyle \int (2+0,04x)dx=}$
$2x+$________$x^2+c$.
Per determinare la costante $c$, consideriamo che i costi fissi sono di $300$ €, quindi:
$C($________$)=300\to$
$2\cdot 0+0,02\cdot 0+c=300\to$
$c=300$.
Allora $C(x)=2x+0,02x^2+300$.
La funzione del ricavo $R(x)$ è la primitiva della funzione ricavo marginale $r(x)$:
$R(x)={\displaystyle \int (50-0,02)dx=}$
$50x-$________$x^2+d$.
Considerando che, se non viene effettuata nessuna vendita il ricavo è nullo, allora
$R(0)=$ ________$\to$
$50\cdot 0-0,01\cdot 0+d=0\to d=0$.
Allora $R(x)=50x-0,01x^2$.

b.   La funzione guadagno è:
$G(x)=R(x)$ ________ $C(x)=$
$50x-0,01x^2-(2x+0,02x^2+300)=$
$48x-$ ________$x^2-300$.
Per calcolare il massimo guadagno dobbiamo calcolare la derivata della funzione guadagno:
$G^{\prime }(x)=48-$ ________$x$.
Il punto di massimo guadagno si ha per $G^{\prime }(x)=0$:
$48-0,06x=0\to x=$ ________.
Possiamo concludere che l'azienda deve vendere $800$ kg di patate per ottenere il massimo guadagno.