Fai il punto sulle competenze - Posizione di due circonferenze e fasci di circonferenze #516888

Qual è l'equazione della circonferenza di raggio minimo del fascio

(k + 1) x^{2} + (k + 1) y^{2} + 8 k x + 4 k y - 45 k - 25 = 0

?

A:

x^{2} + y^{2} - 2 x - 25 = 0

B:

x^{2} + y^{2} + 8 x + 4 y - 45 = 0

C:

x^{2} + y^{2} - 10 x - 8 y + 15 = 0

D:

x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 15 = 0

Scelta multipla

Dati i punti

A (- 1; 1)

,

B (3; 3)

e

C (2; 3)

, sia

δ_{1}

il fascio di circonferenze con punti base

A

e

B

e

δ_{2}

quello con centro

C

.
Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

La circonferenza che passa per

(0; 1)

e appartenente al fascio

δ_{1}

ha equazione

x^{2} + y^{2} + x + 5 y + 6 = 0

.

B:

La circonferenza che passa per

(- 2; 0)

e appartenente al fascio

δ_{1}

ha equazione

x^{2} + y^{2} - 10 x + 12 y - 24 = 0

.

C:

La circonferenza che passa per

(0; 0)

e appartenente al fascio

δ_{2}

ha equazione

x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y = 0

.

D:

δ_{2}

ha asse radicale

x + y = 0

.

Vero o falso

Considera il fascio di circonferenze tangenti alla retta

\frac{x}{5} - \frac{y}{15} = \frac{1}{3}

nel punto di ordinata

- 2

. Quale circonferenza del fascio ha il centro sull'asse del segmento con estremi l'origine degli assi e il punto

(6; 4)

?

A:

x^{2} + y^{2} - 7 x - 5 y + 20 = 0

B:

x^{2} + y^{2} - 14 x + 8 y + 25 = 0

C:

x^{2} + y^{2} + 7 x - 4 y + 25 = 0

D:

x^{2} + y^{2} - 14 x + 8 y + 20 = 0

Scelta multipla

Quali di queste coppie di circonferenze sono secanti?

A:

x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4 = 0

e

x^{2} + y^{2} - 4 x = 0

.

B:

x^{2} + y^{2} - 8 x - 2 y + 13 = 0

e

x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4 = 0

.

C:

x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4 = 0

e

x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 12 = 0

.

D:

x^{2} + y^{2} - 6 y + 12 = 0

e

x^{2} + y^{2} - 4 x = 0

.

Scelta multipla

Quale circonferenza non degenere appartiene al fascio di circonferenze tangenti nel punto

T (- 1; 3)

alla retta

x + y = 2

e tangente anche all'asse

y

?

A:

x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 1 = 0

B:

x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 9 = 0

C:

x^{2} + y^{2} + (- 4 + 2 \sqrt{2}) x +

(4 + 2 \sqrt{2}) y + 6 - 4 \sqrt{2} = 0

D:

x^{2} + y^{2} + (4 + 2 \sqrt{2}) x +

(- 4 + 2 \sqrt{2}) y + 6 - 4 \sqrt{2} = 0

Scelta multipla

Considera il fascio di circonferenze

x^{2} + y^{2} - (k + 3) x + (2 - k) y + k + 3 = 0

. Associa a ogni circonferenza con proprietà il valore di

k

per il quale la si ottiene.

Il centro della circonferenza ha ascissa uguale a

5

.
________

La circonferenza è tangente alla retta

x + y = 0

.
________

La circonferenza ha diametro di lunghezza

\sqrt{5}

.
________

La lunghezza della circonferenza è

π

.
________

Posizionamento

Considera il fascio di circonferenze generato dalle circonferenze

x^{2} + y^{2} = 9

e

x^{2} + y^{2} - 6 x = 0

. Associa il valore di

k

al centro e al raggio della circonferenza corrispondente.

k = 1

________

k = - 2

________

k = 2

________

k = - 3

________

Posizionamento

Considera il fascio di circonferenze

(k + 1) x^{2} + (k + 1) y^{2} + 4 (2 - k) x - 2 (2 k + 7) y - 18 k = 0

.
Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

Una delle due circonferenze generatrici passa per l'origine degli assi.

B:

I punti base del fascio sono

A (- 3; 0)

e

B (3; 3)

.

C:

L'asse centrale del fascio ha equazione

3 x - 2 y = 2

.

D:

I centri delle due circonferenze generatrici hanno coordinate

(2; - 2)

e

(- 4; 7)

.

Vero o falso

Studia il fascio di circonferenze

(1 + k) x^{2} + (1 + k) y^{2} + 2 (1 - 3 k) x - 6 y + 9 = 0

.

Troviamo il centro e il raggio in funzione di

k

:

C (

________;

\frac{3}{1 + k})

e

r =

________

=

\frac{\sqrt{1 - 24 k}}{| 1 + k |}

.

Le due circonferenze generatrici sono:

C_{1}

:

x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 9 = 0

e

C_{2}

:

x^{2} + y^{2}

________

6 x = 0

.

Mettiamo a sistema le equazioni delle due criconferenze generatrici:

{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 9 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 6 x = 0 \end{cases};

con il metodo di riduzione, sottraiamo la seconda equazione alla prima e otteniamo
________

x

-

________

y

+ 9 = 0

che è l'equazione dell'asse radicale.
Sostituiamo

y = \frac{4}{3} x + \frac{3}{2}

nella seconda equazione e otteniamo:

100 x^{2} - 72 x + 81 = 0

che ha

Δ

________

0

ed è quindi impossibile.
Quindi ________.
L'asse centrale è ________ all'asse radicale e passa per il centro delle circonferenze generatrici, quindi la sua equazione è:

y = - \frac{3}{4} (x - 3) \to

3 x

________

4 y

________

9 = 0

.
Le circonferenze degeneri sono ________:

8 x - 6 y + 9 = 0

e quella con raggio

0

, cioè quando

k =

________.

Completamento chiuso