Fai il punto sulle competenze - Omotetia e similitudine #568361

Quali delle seguenti equazioni descrivono la similitudine che si ottiene componendo la traslazione di vettore

\vec{v} (2; 6)

t_{\vec{v}}

e l'omotetia di centro

C (- 4; 2)

e rapporto

\frac{1}{4}

ω_{C, k}

?

A:

ω \circ t

:

{\begin{cases} x^{'} = \frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \\ y^{'} = \frac{1}{4} y + 5 \end{cases}

B:

ω \circ t

:

{\begin{cases} x^{'} = \frac{1}{4} x + 3 \\ y^{'} = \frac{1}{4} y - \frac{5}{2} \end{cases}

C:

ω \circ t

:

{\begin{cases} x^{'} = \frac{1}{4} x - \frac{5}{2} \\ y^{'} = \frac{1}{4} y + 3 \end{cases}

D:

ω \circ t

:

{\begin{cases} x^{'} = \frac{1}{4} x + 5 \\ y^{'} = \frac{1}{4} y + \frac{1}{2} \end{cases}

Scelta multipla

Considera la circonferenza

γ

di centro

C (1; 2)

e raggio

2

. Quale delle seguenti equazioni descrive la trasformata di

γ

rispetto a una omotetia di centro

O (0; 0)

e rapporto

k = \frac{4}{5}

?

A:

x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0

B:

x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + \frac{61}{25} = 0

C:

\frac{25}{16} x^{2} + \frac{25}{16} y^{2} - \frac{5}{2} x - 5 y + 1 = 0

D:

\frac{16}{25} x^{2} + \frac{16}{25} y^{2} - \frac{8}{5} x - \frac{16}{5} y + 1 = 0

Scelta multipla

Associa alle seguenti equazioni che descrivono un'omotetia il centro della trasformazione.

{\begin{cases} x^{'} = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{4} \\ y^{'} = - \frac{1}{2} y + \frac{9}{4} \end{cases}

________

{\begin{cases} x^{'} = \frac{2 x - 1}{4} \\ y^{'} = \frac{2 y + 3}{4} \end{cases}

________

{\begin{cases} x^{'} = \frac{1}{2} x + \frac{3}{4} \\ y^{'} = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \end{cases}

________

{\begin{cases} x^{'} = \frac{9 - 2 x}{4} \\ y^{'} = \frac{3 - 2 y}{4} \end{cases}

________

Posizionamento

Associa alle seguenti equazioni che descrivono una similitudine il corrispondente rapporto di similitudine.

{\begin{cases} x^{'} = - 6 x + 5 y + 3 \\ y^{'} = - 5 x - 6 y + 2 \end{cases}

________

{\begin{cases} x^{'} = - 6 x - 3 y + 3 \\ y^{'} = - 3 x + 6 y + 2 \end{cases}

________

{\begin{cases} x^{'} = 3 x - 7 y + 6 \\ y^{'} = 7 x + 3 y + 2 \end{cases}

________

{\begin{cases} x^{'} = 5 x + 3 y + 6 \\ y^{'} = 3 x - 5 y + 2 \end{cases}

________

Posizionamento

In quale delle figure è rappresentata l'omotetia di centro

O

e rapporto

k = - 2

che fa corrispondere il triangolo di vertici

A B C

al triangolo

A^{'} B^{'} C^{'}

?

________

Completamento chiuso

Per quali valori di

a \in R

le seguenti equazioni rappresentano una similitudine di rapporto

10

:

{\begin{cases} x^{'} = 4 a x - 3 a y + a \\ y^{'} = 3 a x + 4 a y \end{cases}

?

A:

a = 4

B:

a = \pm 4

C:

a = - 2

D:

a = \pm 2

Scelta multipla

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

Tutti i triangoli sono tra loro omotetici.

B:

Componendo due omotetie con centri

C_{1}

e

C_{2}

e rapporti

k_{1}

e

k_{2}

, si ottiene sempre un'omotetia di rapporto

k = k_{1} k_{2}

.

C:

Le similitudini conservano le lunghezze dei segmenti.

D:

Le similitudini trasformano rette parallele in rette parallele.

Vero o falso

Scrivi le equazioni della similitudine indiretta $σ$ che ha come punto unito $O$ e porta $A (6; 9)$ in $A^{'} (- 3; 3)$ .

Le equazioni di una similitudine indiretta che ha $O$ come punto unito sono:

$σ$ : ${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} = a x + b y$ ________ $c$	.
	$y^{'} = b x$ ________ $a y$

Imponiamo che le equazioni che descrivono $σ$ mandino $A (6; 9)$ in $A^{'} (- 3; 3)$ :

$σ$ : ${\begin{cases} \end{cases}$	$- 3 = 6 a + 9 b$	$\to$
	$3 =$ ________ $b -$ ________ $a$

${\begin{cases} - 3 = 6 a + 9 b \\ 9 a + 3 = 6 b \end{cases} \to {\begin{cases} - 3 = 6 a + 9 b \\ b = \frac{3 a + 1}{2} \end{cases} \to$

${\begin{cases} - 3 = 6 a + 9 \frac{3 a + 1}{2} \\ b = \frac{3 a + 1}{2} \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	________ $=$ ________ $a + 9 a + 3$	$\to$
	$b = \frac{3 a + 1}{2}$

${\begin{cases} 13 a = - 5 \\ b = \frac{3 a + 1}{1} \end{cases} \to {\begin{cases} \end{cases}$	$a =$ ________	.
	$b =$ ________

Possiamo concludere che le equazioni che descrivono la similitudine cercata sono:

$σ$ : ${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} =$ ________ $x$ ________ $y$	.
	$y^{'} = - \frac{1}{13} x$ ________ $\frac{5}{13} y$ .

Completamento chiuso