Fai il punto sulle competenze - Lo studio del segno di un prodotto e le disequazioni fratte

Quanti e quali numeri naturali verificano la disequazione $6x^4-17x^3+17x^2-7x+1\le 0$?

Associa ogni disequazione a una delle soluzioni proposte.

${\displaystyle \frac{1-2x}{x+1}\le 0}$ 
________

${\displaystyle -\frac{4}{|x|-1}\ge 0}$ 
________

${\displaystyle \frac{x+1}{2x-1}\ge 0}$ 
________

${\displaystyle -\frac{3+3x}{6x+3}\le 0}$ 
________

${\displaystyle \frac{3}{-|x|-1}<0}$ 
________

Sia $x$ la temperatura di un campione di laboratorio $A$ in gradi Celsius. Posto che un secondo campione $B$ debba essere mantenuto a una temperatura inferiore di $2^{\circ }C$ rispetto a quella di $A$, quali sono le temperature ammesse per $A$ affinché il rapporto tra le temperature di $A$ e di $B$ non sia superiore a $3$ in valore assoluto? $-2^{\circ }C$ è una temperatura ammessa per $A$?

Se $x$ è la temperatura di $A$, allora la temperatura è $x$________$2$.
La disequazione relativa al problema è:
________.
Da cui:
$-3\le$________$\le 3$.
Risolvendola otteniamo: ________.
Quindi le temperature $x$ ammesse per $A$ affinché il rapporto tra le temperature di $A$ e $B$ non sia superiore a $3$ sono: ________.
$-2^{\circ }C$________ all'intervallo, quindi ________ una temperatura ammessa per $A$.

Sia data per $x$ la disequazione ${\displaystyle \frac{(1-x)(x-a)}{a{x}^2}\ge 0}$, con $a$ parametro reale.

a.   È possibile assegnare ad $a$ un valore tale che l'insieme delle soluzioni della disequazione si riduca a un solo numero reale? Se sì, indica qual è in questo caso l'insieme delle soluzioni.

b.   Qual è l'insieme delle soluzioni nel caso che sia $a=-1$?


a.   Affinché l'insieme delle soluzioni della disequazione si riduca a un solo numero reale occorre che al numeratore ci sia un quadrato preceduto dal segno ________ (dato che al denominatore c'è un quadrato, $x^2$), e questo è possibile se $a=$________.
Infatti la disequazione diventa:
${\displaystyle \frac{(1-x)(x-1)}{x^2}\ge 0\to }$
________$\ge 0$$\to$${\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{x^2}}$________$0$
$N\ge 0:(x-1{)}^2\ge 0$________
$D>0:x^2>0$________
L'unico valore che verifica la disequazione è $x=$________.
L'insieme delle soluzioni è
$S=\{$________$\}.$

b.   Se $a=-1$, la disequazione diventa:
________$\ge 0$$\to$
${\displaystyle \frac{(1-x)(x+1)}{x^2}}$________$0$
$N_1\ge 0:1-x\ge 0\to x\le 1$
$N_2\ge 0:x$________$1\ge 0$$\to$$x$________$-1$
$D>0:x^2>0\to$________
Quindi l'insieme delle soluzioni è
$S=\{$________$\}.$

Quale disequazione ha come insieme delle soluzioni l'intervallo in figura?

Considera il trapezio rettangolo $ABCD$ e, utilizzando i dati indicati nella figura, trova per quali valori di $x$:
a.   il perimetro è maggiore di $24$;
b.   il rapporto fra la base minore e la base maggiore è maggiore di ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

a.   Imponiamo che il perimetro sia maggiore di $24$:
$b+5(b-x)+5b-4x+3(b-x)>24$.
Risolviamo l'equazione nell'incognita $x$:
________$x>24-14b$
$x<{\displaystyle \frac{7}{6}b-2}$.
Confrontiamo con le condizioni iniziali, cioè $b>3$ e $x<b$:
$\{\begin{array}{l}{\displaystyle x<\frac{7}{6}b-2}\\ x<b\end{array}$, con $b>3$.
Poiché ${\displaystyle \frac{7}{6}b-2<b}$ per $b$________$12$, concludiamo quanto segue.
Per ________, le soluzioni sono: ${\displaystyle x<\frac{7}{6}b-2}$.
Per ________, le soluzioni sono: $x<b$. Abbiamo ritrovato la condizione iniziale, quindi concludiamo che, sotto le ipotesi date, se ________ il perimetro è maggiore di $24$.

b.   Imponiamo che il rapporto fra la base minore e la maggiore sia maggiore di ${\displaystyle \frac{1}{2}}$:
${\displaystyle \frac{b}{5b-4x}>\frac{1}{2}}$.
Per le condizioni iniziali, cioè $b>3$ e $x<b$, abbiamo:
$5b-4x$________$5b-4b=b\ne 0$.
Quindi il denominatore è diverso da zero.
Portiamo in forma normale:
${\displaystyle \frac{4x-3b}{2(5b-4x)}>0}$.
Poniamo il numeratore $N$ e il denominatore $D$ maggiori di zero:
$N>0\to x$________${\displaystyle \frac{3}{4}b}$;
$D>0\to x$________${\displaystyle \frac{5}{4}b}$.
Poiché $b>3$, ${\displaystyle \frac{5}{4}b}$________${\displaystyle \frac{3}{4}b}$, quindi la frazione ${\displaystyle \frac{N}{D}}$ è positiva per:
________.
Confrontiamo con le condizioni iniziali, cioè $x<b$ e $b>3$.
Poiché, per $b>0$ (quindi, a maggior ragione, per $b>3$), abbiamo ${\displaystyle \frac{3}{4}b<b<\frac{5}{4}b}$, concludiamo che il sistema
________
ha soluzioni:
________.

Trova i valori di $a$ tali che la soluzione $x$ di $(x-1)(x+1)+a(x-2)=-2-x(1-x)$ sia:

a.   $-1\le x<3$;
________

b.   $|x|<1$.
________

Considera gli insiemi $A$ delle soluzioni di
${\displaystyle \frac{3x^3-8x^2}{5x-19}<0}$
e $B$ delle soluzioni di
$(7-2x)(x^2+5x+6)\ge 0$.
Se $S$ è l'insieme delle soluzioni della disequazione $x^3-2x^2-7x-4<0$, si ha che:

Le soluzioni del sistema $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{12}{x}\le 6}\\ {\displaystyle \frac{x^2+6x+9}{x^3-2x^2}>0}\end{array}$ sono: