Fai il punto sulle competenze - Limiti +∞ o -∞ per x che tende a un valore finito #546567

A quale dei seguenti limiti corrisponde la scrittura

\forall M > 0 \exists δ > 0

:

f (x) < - M

,

\forall x \in] 3; 3 + δ [

?

A:

lim_{x \to 3^{-}} f (x) = + \infty

B:

lim_{x \to 3} f (x) = - \infty

C:

lim_{x \to 3^{+}} f (x) = - \infty

D:

lim_{x \to 3^{+}} f (x) = + \infty

Scelta multipla

Dal grafico a lato deduci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

lim_{x \to - 2} f (x) = - \infty

B:

lim_{x \to 0} f (x) = + \infty

C:

lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = - \infty

D:

lim_{x \to π} f (x) = - \infty

Vero o falso

Il grafico in figura rappresenta la funzione

f (x) = 3 \cdot \frac{x + a}{x + b}

.
Determina

a

e

b

e deduci dal grafico il valore di

lim_{x \to - 1^{+}} f (x)

verificando il risultato con la definizione.

1 Determiniamo il valore dei parametri

a

e

b

imponendo il passaggio per i punti di coordinate

(0; - 3)

e

(1; 0)

:

{\begin{cases} 3 \frac{a}{b} = - 3 \\ 3 \frac{1 + a}{1 + b} = 0 \end{cases} \to

{\begin{cases} a = - b \\ \frac{1 - b}{a + b} = 0 \end{cases} \to

________.
Allora

f (x) = 3 \cdot

________.

2 Deduciamo dal grafico

lim_{x \to - 1^{+}} f (x) =

________,
lo verifichiamo con la definizione:

\forall M > 0 \exists δ > 0

:

f (x)

________,

\forall x \in] - 1; - 1 + δ [

.

3 Risolviamo la disequazione:

3 \cdot \frac{x - 1}{x + 1}

________

\to

\frac{(M + 3) x + M - 3}{x + 1} < 0

.
Poiché

\frac{3 - M}{M + 3}

________

- 1

per ogni

M > 0

, la soluzione della disequazione è ________.
Abbiamo dunque trovato un intorno destro di

- 1

in cui la funzione è ________.

Completamento chiuso

Associa a ogni definizione il limite corretto.

\forall M > 0 \exists I (1)

:

f (x) > M

,

\forall x \in I (1) - {1}

________

\forall M > 0 \exists δ > 0

:

f (x) < - M

,

\forall x \in] 1 - δ; 1 [

________

\forall M > 0 \exists δ > 0

:

f (x) > M

,

\forall x \in] 1; 1 + δ [

________

\forall M > 0 \exists I (1)

:

f (x) < - M

,

\forall x \in I (1) - {1}

________

Posizionamento

Qual è intorno di

2

in cui è verificata la definizione del limite

lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{x - 2} = + \infty

con

M > 1

?

A:

] 2; \frac{2}{M - 1} [

B:

] 2; \frac{2 M}{M - 1} [

C:

] \frac{2 M}{M - 1}; 2 [

D:

] \frac{2}{M - 1}; \frac{2 M}{M - 1} [

Scelta multipla